Задание 17 - первая задача второй части: прикладную модель надо не просто посчитать, а исследовать, и результат вернуть в терминах условия. Сюжет темы всегда один. Есть запас - деньги, рабочие, тонны удобрения, детали заказа, - и два объекта, между которыми он делится; отдача каждого задана формулой. Спрашивают, как поделить запас, чтобы суммарная отдача была наибольшей (или суммарные затраты - наименьшими).
Модель: две отдачи и одна связь
Переменных две, но связаны они линейно, поэтому одна лишняя: из x+y=R следует y=R−x. Подстановка превращает задачу в исследование функции ОДНОЙ переменной.
Алгоритм
Максимум внутри отрезка и на его краю
Критическая точка не обязана попасть в допустимые значения. Три случая различает одна проверка - сравнение корня с концами отрезка.
Правило равной предельной отдачи
Ответ виден и до производной. Представь, что раздаёшь ресурс по единице и каждую отдаёшь туда, где прибавка больше. Пока первый объект отвечает на добавку сильнее второго, ресурс идёт к нему; сравнялись отдачи - перекладывать незачем.
Примеры решения
Пример 1. Рабочие на двух участках
Условие:
Бригаду из 20 рабочих распределяют между двумя участками сборки. Если на первом работают x человек, за смену они собирают 40x−x2 изделий; если на втором работают y человек - 24y−y2 изделий. Все рабочие заняты. Какое наибольшее число изделий бригада соберёт за смену?
Сводим к одной переменной
Пусть на первом участке x человек, на втором 20−x, где 0⩽x⩽20.
S(x)=40x−x2+24(20−x)−(20−x)2
S(x)=40x−x2+480−24x−400+40x−x2=−2x2+56x+80
Исследуем функцию на отрезке
S′(x)=−4x+56,S′(x)=0⟺x=14
Корень 14 лежит в отрезке [0;20]. На [0;14) производная положительна, на (14;20] отрицательна: функция возрастает, затем убывает, значит x=14 - точка максимума на отрезке.
Считаем и толкуем
S(14)=−2⋅196+56⋅14+80=−392+784+80=472
Проверка по исходным формулам: 40⋅14−196=364 изделия на первом участке и 24⋅6−36=108 на втором, вместе 472.
Интерпретация. Наибольший выпуск бригада даёт, если 14 человек поставить на первый участок, а 6 - на второй: за смену будет собрано 472 изделия. При делении поровну вышло бы 300+140=440.
Ответ: 472
Пример 2. Деньги между двумя линиями
Условие:
Завод выделил 45 млн рублей на модернизацию двух линий и расходует их полностью. Вложение x млн в первую линию поднимает её годовой выпуск на 4x тысяч деталей, вложение y млн во вторую - на 2y тысяч деталей. Какова наибольшая суммарная прибавка выпуска?
Составляем функцию
Пусть в первую линию вложено x млн рублей, во вторую 45−x, причём 0⩽x⩽45.
S(x)=4x+245−x
Дифференцируем
На интервале (0;45)
S′(x)=x2−45−x1
Приравниваем к нулю: 245−x=x. Обе части неотрицательны, возводим в квадрат:
4(45−x)=x,180=5x,x=36
Обосновываем максимум
S′(9)=32−61>0, а S′(44)=442−1≈−0,7<0. Знак меняется с плюса на минус, значит x=36 - точка максимума на [0;45].
Считаем и толкуем
S(36)=436+29=4⋅6+2⋅3=30
Интерпретация. Деньги делятся так: 36 млн рублей в первую линию и 9 млн во вторую; прибавка выпуска будет наибольшей и составит 30 тысяч деталей в год. Поровну дало бы 622,5≈28,5 тысячи.
Ответ: 30
Пример 3. Корень за пределами отрезка
Условие:
Бригаду из 10 рабочих распределяют между двумя участками. На первом x человек собирают 34x−x2 изделий, на втором y человек - 12y−y2 изделий. Все рабочие заняты. Каков наибольший выпуск за смену?
Составляем функцию
Пусть на первом участке x человек, на втором 10−x, где 0⩽x⩽10.
S(x)=34x−x2+12(10−x)−(10−x)2
S(x)=34x−x2+120−12x−100+20x−x2=−2x2+42x+20
Ищем критическую точку
S′(x)=−4x+42,S′(x)=0⟺x=10,5
Число 10,5 в отрезок [0;10] НЕ попадает.
Пользуемся монотонностью
На всём отрезке S′(x)=42−4x⩾42−40=2>0, функция строго возрастает, и наибольшее значение достигается в правом конце:
S(10)=−200+420+20=240
Проверка: 34⋅10−100=240 изделия на первом участке, второй пуст и даёт 0.
Интерпретация. Второй участок настолько слабее, что снимать с первого даже одного рабочего невыгодно: распределение 9 и 1 даёт 225+11=236 изделий. Всех десятерых - на первый участок, итог 240 изделий.
Ответ: 240
Пример 4. Заказ между двумя цехами
Условие:
Предприятие получило заказ на 70 деталей и распределяет его между двумя цехами. Затраты первого цеха на x деталей равны 0,5x2+10x+500 тысяч рублей, затраты второго на y деталей - 0,5y2+20y+300 тысяч рублей. Весь заказ выполняется. Каковы наименьшие суммарные затраты?
Составляем функцию затрат
Пусть первый цех делает x деталей, второй 70−x, причём 0⩽x⩽70.
C(x)=0,5x2+10x+500+0,5(70−x)2+20(70−x)+300
Раскрываем: 0,5(70−x)2=2450−70x+0,5x2 и 20(70−x)=1400−20x, после приведения подобных
C(x)=x2−80x+4650
Исследуем
C′(x)=2x−80,C′(x)=0⟺x=40
Корень лежит в [0;70]. На [0;40) производная отрицательна, на (40;70] положительна: функция убывает, затем возрастает, значит x=40 - точка минимума.
Считаем и толкуем
C(40)=1600−3200+4650=3050
Проверка: первый цех при 40 деталях тратит 800+400+500=1700 тысяч рублей, второй при 30 - 450+600+300=1350 тысяч; вместе 3050.
Интерпретация. Заказ распределяется так: 40 деталей первому цеху и 30 второму; затраты будут наименьшими и составят 3050 тысяч рублей. Пополам (35 и 35) обошлось бы в 3075 тысяч.
Ответ: 3050
Оптимальный выбор
Соседний жанр задания 17 устроен так же, но выбирают в нём не долю ресурса, а вариант: при каком объёме выпуска цех окупится за отведённый срок, сколько людей поставить на каждую из двух деталей будущего комплекта, как поделить бригаду между двумя объектами, чтобы работа закончилась раньше. Схема прежняя - одна переменная, одна целевая функция, отрезок допустимых значений; меняется только то, что стоит в целевой функции.
Отдельная разновидность - узкое место. Изделие собирается из двух разных деталей, и в зачёт идут только полные комплекты; бригада делится между двумя объектами, а работа закончится тогда, когда освободится последний. Итог здесь не сумма, а минимум (число комплектов) или максимум (время) двух выражений. Одно из них растёт, другое убывает, поэтому оптимум стоит ровно там, где они сравнялись: пока одна часть отстаёт, ресурс выгодно перекидывать к ней.
Пример 5. Цена, при которой цех окупится
Условие:
Строительство цеха стоит 108 млн рублей. Затраты на выпуск x тысяч изделий равны 0,5x2+8x+5 млн рублей в год, цена одного изделия - p тысяч рублей. Каждый год цех выпускает столько изделий, чтобы годовая прибыль была наибольшей. При каком наименьшем целом p цех окупится не более чем за 4 года?
Записываем годовую прибыль
Π(x)=px−(0,5x2+8x+5)=−0,5x2+(p−8)x−5
Ветви параболы направлены вниз, значит наибольшая прибыль достигается в вершине:
x0=−2⋅(−0,5)p−8=p−8
Выпуск положителен, поэтому при p⩽8 цех прибыли не даёт вовсе.
Считаем наибольшую годовую прибыль
Πmax=−0,5(p−8)2+(p−8)2−5=0,5(p−8)2−5
Составляем условие окупаемости
За 4 года прибыль обязана покрыть стоимость постройки:
4(0,5(p−8)2−5)⩾108⟺0,5(p−8)2⩾32⟺(p−8)2⩾64
Цена положительна, поэтому p−8⩾8, то есть p⩾16.
Проверяем границу
При p=16 выгодный выпуск равен 8 тысячам изделий, годовая прибыль составляет 0,5⋅64−5=27 млн рублей, а за четыре года - ровно 108 млн: цех окупается впритык. При p=15 прибыль равна 19,5 млн в год и за четыре года даёт лишь 78 млн.
Ответ: 16
Пример 6. Комплект из двух деталей
Условие:
Бригада из 25 рабочих собирает комплекты, каждый из которых состоит из одного корпуса и двух крышек. За смену один рабочий изготавливает либо 6 корпусов, либо 8 крышек. Как распределить бригаду, чтобы за смену вышло наибольшее число полных комплектов, и сколько их будет?
Считаем детали
Пусть корпуса делают x рабочих, крышки - остальные 25−x, где 0⩽x⩽25. За смену получится 6x корпусов и 8(25−x) крышек.
Переводим детали в комплекты
На один комплект идут корпус и две крышки, поэтому из крышек соберётся 28(25−x)=4(25−x) комплектов. Число полных комплектов задаёт более дефицитная деталь:
N(x)=min(6x;4(25−x))
Ищем узкое место
Первое выражение растёт, второе убывает, поэтому наибольшее значение минимума стоит там, где они сравнялись:
6x=4(25−x)⟺6x=100−4x⟺x=10
N(10)=6⋅10=60,4⋅(25−10)=60
Проверяем соседние распределения
Рабочих целое число, поэтому смотрим соседей: при x=11 выйдет min(66;56)=56 комплектов, при x=9 - min(54;64)=54. Оба меньше найденного.
Интерпретация. На корпуса ставим 10 рабочих, на крышки 15; за смену бригада соберёт 60 комплектов. Излишков не остаётся: 60 корпусов и 120 крышек расходятся ровно.
Ответ: 60 комплектов
Развёрнутые сюжеты жанра - завод и цена окупаемости, пенсионный фонд и выбор года продажи ценных бумаг - разобраны в архивном конспекте «Задачи на оптимальный выбор» (задание 16 КИМ-2026). Формат там сложнее нынешнего, но модель и техника ровно те же.
Частые ошибки
Проверь себя
Ресурс R делится между двумя объектами, первому досталось x. Чему равна суммарная отдача?
Каков отрезок допустимых значений x, если других ограничений нет?
S′(x)=0 при x=12,5, а по условию 0⩽x⩽10. Что делать?
Какое равенство выполняется в точке наибольшей суммарной отдачи?
