Логарифмические уравнения

Суть темы

Логарифмические уравнения в задании 7 первой части ЕГЭ - это базовые уравнения, где неизвестная $x$ находится внутри логарифма (в его аргументе).

Главная цель при решении такого уравнения - избавиться от знака логарифма. Для этого нужно либо применить определение логарифма, либо привести обе части к одному логарифму с одинаковым основанием. В первой части экзамена уравнения подобраны так, что после перехода получается простое линейное уравнение с единственным корнем.

Отдельное внимание уделяется ОДЗ: аргумент логарифма обязан быть строго положительным. Забудешь про это - можно получить «корень», которого на самом деле нет.

Основные формулы

Все решения задания 7 строятся на двух базовых формулах перехода плюс свойствах логарифма, которые помогают свернуть или развернуть выражение.

Вторая ключевая формула применяется, когда логарифмы стоят по обе стороны от знака равенства.

А эти три свойства нужны, чтобы свернуть правую часть или объединить несколько логарифмов в один.

Алгоритм решения

В первой части нет сложных систем, поэтому алгоритм максимально прямолинеен.

Примеры решения

Разбор идёт от простого к более хитрому. Последний пример - с заменой переменной, на всякий случай: такой тип на задании 7 встречается редко, но иногда всплывает.

Пример 1. Число справа

Найдите корень уравнения $\log_3(2x - 5) = 2$.

Пример 2. Логарифмы с двух сторон

Найдите корень уравнения $\log_7(3 - x) = \log_7(x + 15)$.

В следующем примере основание является дробью, а в правой части стоит отрицательное число. Это классическое место для ошибок в вычислениях.

Пример 3. Дробное основание, отрицательная степень

Найдите корень уравнения $\log_{1/2}(4x + 1) = -3$.

Пример 4. Замена переменной

Найдите меньший корень уравнения $\log_5^2 x - \log_5 x - 2 = 0$.

Частые ошибки

Что запомнить

• Логарифм - это степень. Уравнение $\log_a f(x) = c$ всегда превращается в $f(x) = a^c$.
• Если основания одинаковы ($\log_a = \log_a$), можно отбросить знаки логарифма.
• Отрицательная степень переворачивает основание: $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2} = 3^2 = 9$.
• Число справа можно превратить в логарифм: $c = \log_a a^c$ (например, $2 = \log_3 9$).
• Свойства $\log_a xy = \log_a x + \log_a y$ и $\log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$ помогают сворачивать сумму или разность в один логарифм.
• Всегда подставляй найденный корень в аргумент логарифма: он должен быть строго положительным.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Чему равен корень уравнения $\log_2(x - 3) = 4$?
   • $x = 19$
   • $x = 11$
   • $x = 7$
2. Уравнение $\log_{1/3}(x + 2) = -2$ сводится к какому равенству?
   • $x + 2 = 9$
   • $x + 2 = \dfrac{1}{9}$
   • $x + 2 = -9$
3. Найден корень уравнения $\log_5(2x - 1) = 1$. Как проверить его по ОДЗ?
   • Подставить корень в аргумент $2x - 1$ и убедиться, что он строго положителен
   • Убедиться, что сам корень положителен
   • Убедиться, что основание $5$ больше единицы
4. Как переписать число $2$ в виде логарифма по основанию $3$?
   • $2 = \log_3 9$
   • $2 = \log_3 6$
   • $2 = \log_9 3$

Проверить