Преобразования числовых тригонометрических выражений

Преобразования числовых тригонометрических выражений (Задание 8)

Задание 8 проверяет твоё умение работать с алгебраическими и тригонометрическими выражениями. В тригонометрических прототипах этого номера часто встречаются «некрасивые» углы: $136^\circ$, $\dfrac{11\pi}{12}$, $\dfrac{7\pi}{8}$. Их нет в стандартной таблице, и посчитать их напрямую нельзя.

Суть этих задач всегда одна: нужно применить формулу, которая превратит плохой угол в хороший. В 90% случаев это формулы двойного угла, иногда подключаются формулы приведения и основное тригонометрическое тождество.

Основные формулы

Для уверенного решения тебе нужны четыре группы формул: основное тождество, формулы двойного угла, формулы понижения степени и формулы приведения. На окружность опираются все они, поэтому держи её перед глазами.

Формулы двойного угла - главный инструмент этой темы. Запомни все три формы записи для косинуса: на ЕГЭ проверяют каждую из них.

Иногда удобнее смотреть на формулы косинуса двойного угла с другой стороны - это формулы понижения степени. Они помогают избавиться от квадратов.

Чтобы сводить большие и нестандартные углы к первой четверти, используются формулы приведения. Их не нужно учить наизусть - достаточно понимать логику по окружности.

Алгоритм решения

Примеры решения

Разберём три типичных сюжета, которые встречаются на ЕГЭ: вынесение за скобку до косинуса двойного угла, разность квадратов и работа с дополнительными углами.

Пример 1. Косинус двойного угла через один квадрат

Условие: Найди значение выражения

$$8\sqrt{3}\cos^2\dfrac{7\pi}{12} - 4\sqrt{3}$$

Пример 2. Разность квадратов

Условие: Найди значение выражения

$$5\sqrt{2}\cos^2\dfrac{13\pi}{8} - 5\sqrt{2}\sin^2\dfrac{13\pi}{8}$$

Пример 3. Дроби и дополнительные углы

Условие: Найди значение выражения

$$\dfrac{12\sin 84^\circ}{\cos 42^\circ \cdot \cos 48^\circ}$$

Частые ошибки

Что запомнить

• Если видишь странный угол с $\pi$ и знаменателем $8$ или $12$ - это почти всегда задача на удвоение угла.

• Выноси за скобку числовой коэффициент целиком, чтобы внутри осталась ровно формула один в один из справочника.

• Если в дроби даны углы в градусах, ищи те, сумма которых равна $90^\circ$: одна функция легко превратится в другую и сократится.

• Знак функции всегда определяй по четверти исходного аргумента, а не «интуитивно по таблице».

• Если радианы пугают, переведи их в градусы, подставив $\pi = 180^\circ$: например, $\dfrac{7\pi}{8} = 157{,}5^\circ$, и станет понятно, что угол лежит во II четверти.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Какая из записей является верной формой косинуса двойного угла?
   • $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$
   • $\cos 2\alpha = 2\sin^2\alpha - 1$
   • $\cos 2\alpha = \sin^2\alpha - \cos^2\alpha$
2. Чему равно выражение $2\cos^2\dfrac{7\pi}{12} - 1$?
   • $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
   • $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
   • $-\dfrac{1}{2}$
3. Как раскрывается $\sin^2 2\alpha$?
   • $4\sin^2\alpha\cos^2\alpha$
   • $2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$
   • $2\sin\alpha\cos\alpha$
4. Чему равен $\cos(\pi - \alpha)$?
   • $-\cos\alpha$
   • $\cos\alpha$
   • $\sin\alpha$

Проверить