Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения

Задание 7 проверяет умение решать простейшие уравнения: линейные, квадратные, логарифмические, показательные и иррациональные. Иррациональные уравнения -- это те, в которых неизвестная переменная $x$ находится под знаком корня.

На экзамене эта тема занимает второе место по частоте после показательных уравнений. Конструкции здесь максимально классические и не требуют сложных преобразований, но поймать вычислительную ошибку или забыть про свойства корня очень легко.

Суть и главная опасность темы

Главный приём решения -- избавление от знака корня путём возведения обеих частей в нужную степень. Но у квадратного корня есть особенность: возведение в квадрат -- неравносильное преобразование. Оно может добавить к правильному ответу лишний, «посторонний» корень. Поэтому для квадратного корня обязательна либо проверка подстановкой, либо учёт ОДЗ.

У кубического корня (и любого корня нечётной степени) такой проблемы нет: возведение в куб -- равносильное преобразование.

Основные формулы

В задании 7 встречаются три ключевые конструкции. Для каждой есть свой равносильный переход.

Алгоритм решения

В задании 7 тебе почти всегда достанется уравнение вида $\sqrt{ax + b} = c$ или $\sqrt[3]{ax + b} = c$. Реже -- комбинированное уравнение (корень + логарифм, корень + квадрат). Алгоритм универсален.

Примеры решения

Три задачи от разгоночной до комбинированной с отбором корней.

Пример 1. Квадратный корень от линейного выражения

Условие: Найди корень уравнения $\sqrt{82 - 9x} = 8$.

1. Справа стоит положительное число $8$ -- можно смело возводить обе части в квадрат:

$$(\sqrt{82 - 9x})^2 = 8^2$$

$$82 - 9x = 64$$

2. Решаем линейное уравнение. Перенесём $82$ вправо, а $-9x$ оставим слева:

$$-9x = 64 - 82$$

$$-9x = -18$$

$$x = \dfrac{-18}{-9} = 2$$

3. Проверка: $\sqrt{82 - 9 \cdot 2} = \sqrt{82 - 18} = \sqrt{64} = 8$. Всё сходится.

Ответ: 2

Пример 2. Кубический корень

Условие: Найди корень уравнения $\sqrt[3]{4x - 11} = 5$.

Пример 3. Комбинированное уравнение с отбором корней

Условие: Реши уравнение $\sqrt{\log_2 (3x^2 - 11)} = 2$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажи больший из них.

Отбор корней по ОДЗ

В задании 7 встречается особая разновидность -- квадратное уравнение под корнем, после решения которого нужно выбрать только подходящие корни. Разберём общий принцип на простом примере.

Допустим, ты решаешь уравнение $\sqrt{x^2 - 5} = 2$. После возведения в квадрат: $x^2 - 5 = 4$, $x^2 = 9$, $x = \pm 3$. Оба корня дают $x^2 = 9 \geqslant 5$, значит оба проходят ОДЗ, и оба подходят. Если в условии сказано «укажи меньший» -- пишешь $-3$, «больший» -- пишешь $3$.

А если бы уравнение было $\sqrt{x^2 + x - 12} = 2$, получилось бы $x^2 + x - 16 = 0$, и корни $x_{1,2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{65}}{2}$ -- уже не подходящий для первой части ответ. В задании 7 числа всегда подобраны так, чтобы корни были целыми.

Частые ошибки

Что запомнить

• Квадратный корень снимается возведением обеих частей в квадрат, кубический -- в куб.
• Возведение в квадрат -- неравносильное преобразование: проверка подстановкой обязательна.
• Если справа от квадратного корня стоит число $a \geqslant 0$, отдельно выписывать ОДЗ не нужно.
• Если справа стоит выражение с $x$, обязательно требуй $g(x) \geqslant 0$.
• После решения квадратного уравнения $x^2 = a$ получается два корня -- $\pm \sqrt{a}$. Не теряй отрицательный.
• Подстановка найденного $x$ в исходное уравнение -- твой лучший инструмент самопроверки.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Уравнение $\sqrt{x} = -5$...
   • не имеет корней
   • имеет корень $x = 25$
   • имеет корень $x = -25$
2. Чему равносильно уравнение $\sqrt{f(x)} = g(x)$?
   • $f(x) = g(x)^2$ и $f(x) \geqslant 0$
   • $f(x) = g(x)^2$ и $g(x) \geqslant 0$
   • просто $f(x) = g(x)^2$, дополнительных условий не нужно
3. Найди корень уравнения $\sqrt[3]{2x - 6} = 2$.
   • $x = 7$
   • $x = 6$
   • $x = 1$
4. Уравнение $x^2 = 49$ имеет корни...
   • только $x = 7$
   • $x = 7$ и $x = -7$
   • только $x = -7$

Проверить