Задание 12 проверяет умение работать с графиками функций. Гипербола - одна из самых популярных функций в этом номере. Задачи делятся на два основных сюжета: найти значение функции по её графику и найти координату точки пересечения гиперболы с прямой.
В этом номере требуется дать краткий ответ: целое число или конечную десятичную дробь.
Суть темы и основные формулы
График обратной пропорциональности называется гиперболой. В задании 12 чаще всего встречается базовая форма, реже - со сдвигом вдоль осей.
Для задач на пересечение понадобится ещё одно уравнение - линейной функции.
Иногда в задаче встречается гипербола, сдвинутая вдоль осей. Её легко узнать по пунктирным асимптотам, которые не совпадают с осями координат.
Алгоритм решения
В более сложных прототипах задания 12 даны графики гиперболы и прямой, которые пересекаются в точках A и B. Координаты одной точки (обычно A) считываются прямо с рисунка, а вторая точка лежит за пределами видимой области графика.
Примеры решения задач
Разберём три типа задач: от одиночной гиперболы до пересечения со сдвигом.
Пример 1. Значение функции по графику
На рисунке изображён график функции вида f(x)=xk. Найди значение f(25).
Находим коэффициент k
На графике выделена точка, через которую точно проходит гипербола. Её координаты: x=2, y=−4.
Найдём коэффициент k:
k=x⋅y=2⋅(−4)=−8
Уравнение функции:
f(x)=−x8
Подставляем x = 25
f(25)=−258
Переводим в десятичную дробь
Домножим числитель и знаменатель на 4:
−25⋅48⋅4=−10032=−0,32
Ответ:−0,32
Пример 2. Абсцисса второй точки пересечения
На рисунке изображены графики функций f(x)=xk и g(x)=ax+b, пересекающиеся в точках A и B. Точка A имеет координаты (2;3). Найди абсциссу точки B.
Восстанавливаем уравнение гиперболы
Гипербола проходит через точку A(2;3). Найдём k:
k=x⋅y=2⋅3=6
Уравнение: f(x)=x6.
Восстанавливаем уравнение прямой
Прямая пересекает ось Y в точке (0;1), значит b=1.
Возьмём вторую точку (−1;0) и подставим в y=ax+1:
0=a⋅(−1)+1⟹a=1
Уравнение: g(x)=x+1.
Приравниваем функции
В точках пересечения ординаты графиков равны, поэтому приравняем правые части:
x6=x+1
Умножим обе части на x (при x=0) и перенесём в одну сторону:
x2+x−6=0
Решаем квадратное уравнение
По теореме Виета:
x1+x2=−1,x1⋅x2=−6
Корни: x1=2, x2=−3.
Отбираем корень
Корень x=2 - абсцисса точки A (совпадает с данным в условии - значит, уравнения составлены верно).
Второй корень x=−3 - абсцисса искомой точки B.
Ответ:−3
Следующий пример чуть сложнее: ищем ординату, а уравнение прямой имеет отрицательный угловой коэффициент.
Пример 3. Ордината второй точки пересечения
На рисунке изображены графики функций f(x)=xk и g(x)=ax+b, пересекающиеся в точках A и B. Точка A имеет координаты (1;4). Найди ординату точки B.
Восстанавливаем f(x)
k=1⋅4=4, поэтому f(x)=x4.
Восстанавливаем g(x)
Прямая проходит через (0;5), значит b=5.
Подставим вторую точку (5;0):
0=a⋅5+5⟹a=−1
Уравнение: g(x)=−x+5.
Приравниваем функции
x4=−x+5
Умножим на x и перенесём в одну сторону:
x2−5x+4=0
Решаем квадратное уравнение
По теореме Виета: x1+x2=5, x1⋅x2=4. Корни: x1=1, x2=4.
Корень x=1 - это абсцисса точки A (совпадение подтверждает расчёт). Значит, абсцисса точки B равна 4.
Вычисляем ординату точки B
Подставим x=4 в уравнение прямой:
yB=−4+5=1
Проверка через гиперболу: f(4)=44=1. Совпало.
Ответ:1
Частые ошибки
Стратегия на экзамене
Проверь себя
Гипербола y=xk проходит через точку (−2;4). Чему равен k?
Ветви гиперболы y=xk лежат во II и IV четвертях. Что можно сказать о k?
Графики f(x)=x6 и g(x)=x+1 пересекаются в точках с абсциссами 2 и −3. Какова ордината точки с абсциссой −3?
У гиперболы y=x−23+1 вертикальная асимптота задаётся уравнением:
