Оптимизация в задачах на движение

Содержание

Оптимизация в задачах на движение (Задание 17)
Главный факт темы
Три сюжета
Алгоритм
Примеры решения
Как оформить решение на 2 балла
Частые ошибки

Оптимизация в задачах на движение (Задание 17)

Два объекта едут, летят или плывут - и расстояние между ними то сокращается, то растёт. Вопрос задания 17 всегда двойной: через сколько времени объекты сблизятся сильнее всего и чему равно это наименьшее расстояние. Отдельный сюжет темы - выбор скорости: ехать быстрее не всегда быстрее, если расход растёт вместе со скоростью.

Главный факт темы

Два перпендикулярных шоссе и положения машин в момент наибольшего сближения

ВАЖНОЕ

Квадрат расстояния - квадратный трёхчлен

Пусть координаты объектов в момент $t$ равны $(x_1;\, y_1)$ и $(x_2;\, y_2)$ , причём все четыре координаты - линейные функции времени. Тогда

s^2(t) = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 = At^2 + Bt + C

Разность линейных функций линейна, её квадрат даёт $t^2$ , поэтому $s^2$ - квадратный трёхчлен. Старший коэффициент $A$ равен квадрату длины разности векторов скоростей: он положителен всегда, кроме случая, когда объекты движутся с одинаковой скоростью в одну сторону. Значит, ветви параболы направлены вверх, и наименьшее значение достигается в вершине:

t_0 = -\dfrac{B}{2A}

График квадрата расстояния как функции времени

Три сюжета

Перпендикулярные дороги

Погоня и движение по одной прямой

ВАЖНОЕ

Когда параболы не будет

Если объекты движутся по одной прямой или по параллельным курсам, разность координат линейна:

s(t) = |d - (v_2 - v_1)t|

Исследовать нечего. При $v_2 > v_1$ расстояние убывает до нуля - это момент встречи $t = \dfrac{d}{v_2 - v_1}$ ; при $v_2 \leqslant v_1$ догоняющий отстаёт, расстояние растёт, и наименьшим оно было в начальный момент. Настоящая задача на минимум появляется, только когда курсы не параллельны: тогда в $s^2(t)$ выживает член с $t^2$ .

Наименьшее время при переменной скорости

ВАЖНОЕ

Время как сумма двух слагаемых

Путь $S$ проходят со скоростью $v$ , а к времени движения добавляется потеря, растущая вместе со скоростью (зарядка, дозаправка, износ):

T(v) = \dfrac{S}{v} + k v^{\,n}, \qquad v \in [v_{\min};\, v_{\max}]

Первое слагаемое убывает, второе растёт - у суммы есть внутренний минимум. Производная:

T'(v) = -\dfrac{S}{v^2} + knv^{\,n-1}

Промежуток скоростей задаёт условие, и корень обязан в него попасть.

График общего времени доставки в зависимости от скорости

Алгоритм

АЛГОРИТМ

Как решать задачу на движение

Введи время. Пусть $t$ - время, прошедшее с начала наблюдения, и сразу выбери единицу: часы или секунды. Скорости переведи в ту же систему.
Запиши положения обоих объектов через $t$ . Для перпендикулярных дорог хватит расстояний до перекрёстка, в общем случае - координат.
Составь $s^2(t)$ по теореме Пифагора и приведи к виду $At^2 + Bt + C$ .
Скажи про корень. Одна строка: « $s \geqslant 0$ , поэтому $s$ и $s^2$ минимальны в одной точке».
Найди вершину $t_0 = -\dfrac{B}{2A}$ и проверь, что $t_0 \geqslant 0$ : отрицательное время наблюдения не рассматривается.
Ответь на оба вопроса. Переведи $t_0$ в минуты или секунды, если просят, и вычисли $s(t_0) = \sqrt{s^2(t_0)}$ с единицами.

Примеры решения

Пример 1. Автобус и автомобиль на перекрёстке

Условие: Два прямых шоссе пересекаются под прямым углом; в месте пересечения построена эстакада, поэтому машины не мешают друг другу. По первому шоссе к перекрёстку равномерно едет автобус со скоростью $60$ км/ч, в начальный момент он находится в $20$ км от перекрёстка. По второму шоссе к тому же перекрёстку равномерно едет автомобиль со скоростью $80$ км/ч, в начальный момент он находится в $10$ км от перекрёстка. Через сколько минут после начала наблюдения расстояние между машинами будет наименьшим и чему оно равно?

Записываем положения

Пусть $t$ - время в часах с начала наблюдения. Расстояния машин до перекрёстка равны $20 - 60t$ и $10 - 80t$ километров; отрицательное значение означает, что машина уже миновала перекрёсток и удалилась от него на соответствующее расстояние.

Составляем квадрат расстояния

Шоссе перпендикулярны, поэтому по теореме Пифагора

s^2(t) = (20 - 60t)^2 + (10 - 80t)^2 = 10\,000t^2 - 4000t + 500

Так как $s \geqslant 0$ , а функция $\sqrt{u}$ возрастает, наименьшему значению $s^2$ отвечает наименьшее значение $s$ .

Находим вершину

Старший коэффициент $10\,000 > 0$ - ветви параболы направлены вверх, значит наименьшее значение достигается в вершине:

t_0 = \dfrac{4000}{2 \cdot 10\,000} = 0{,}2 \text{ ч} = 12 \text{ мин}

Считаем расстояние

s^2(0{,}2) = 10\,000 \cdot 0{,}04 - 4000 \cdot 0{,}2 + 500 = 400 - 800 + 500 = 100, \qquad s = 10

Интерпретация. Через $12$ минут автобусу останется $8$ км до перекрёстка, а автомобиль уже проедет перекрёсток на $6$ км: катеты $8$ и $6$ дают гипотенузу $10$ . Ближе чем на $10$ км машины не сблизятся ни в какой момент.

Ответ: через $12$ минут; наименьшее расстояние $10$ км.

Пример 2. Дрон над шоссе

Условие: Дрон-курьер летит горизонтально на постоянной высоте $75$ м со скоростью $20$ м/с; проекция его траектории на землю - прямая, перпендикулярная прямому шоссе. В начальный момент проекция дрона на землю находится в $500$ м от шоссе. В тот же момент по шоссе к точке $P$ , над которой пройдёт дрон, приближается автомобиль: он находится в $250$ м от точки $P$ и едет равномерно со скоростью $15$ м/с. Через сколько секунд расстояние между дроном и автомобилем будет наименьшим и чему оно равно?

Дрон, шоссе и автомобиль: трёхмерная схема сближения

Пример 3. Скорость, при которой доставка быстрее

Условие: Электрический тягач должен доставить груз на расстояние $250$ км и едет с постоянной скоростью $v$ км/ч, где $40 \leqslant v \leqslant 80$ . Расход энергии на маршруте пропорционален квадрату скорости, поэтому суммарное время зарядок в пути (в часах) равно $\dfrac{v^2}{1000}$ . Общее время доставки складывается из времени движения и времени зарядок. При какой скорости общее время доставки будет наименьшим и чему оно равно?

Пример 4. Вершина оказалась в прошлом

Условие: Два прямых шоссе пересекаются под прямым углом. В начальный момент автомобиль уже проехал перекрёсток на $12$ км и удаляется от него со скоростью $90$ км/ч. По второму шоссе к перекрёстку едет велосипедист со скоростью $20$ км/ч; в начальный момент до перекрёстка ему $5$ км. Через сколько времени после начала наблюдения расстояние между ними будет наименьшим и чему оно равно?

Как оформить решение на 2 балла

Критерии ФИПИ короткие: $2$ балла - обоснованно получен верный ответ; $1$ балл - последовательность всех шагов верна, но допущена вычислительная ошибка; $0$ - во всех остальных случаях. Отдельного балла за найденную вершину нет, поэтому «голое» число без модели - это ноль. В чистовике должны стоять пять пунктов.

Переменная и её единица. «Пусть $t$ - время в часах с начала наблюдения».
Модель: положения обоих объектов через $t$ и функция одной переменной $s^2(t) = At^2 + Bt + C$ с уже подставленными числами.
Область: $t \geqslant 0$ (а если движение ограничено по времени - соответствующий отрезок).
Исследование: переход к квадрату обоснован ( $s \geqslant 0$ , корень возрастает), направление ветвей названо, вершина найдена и проверена на принадлежность области. Если вершина вне области - сказано про монотонность.
Ответ в терминах задачи: оба числа с единицами - когда (мин, с, ч) и сколько (км, м).

Частые ошибки

ИТОГ

Что запомнить

При равномерном прямолинейном движении $s^2(t)$ - квадратный трёхчлен с положительным старшим коэффициентом; минимум - в вершине $t_0 = -\dfrac{B}{2A}$ .
Работают с квадратом расстояния, а не с расстоянием: $s$ и $s^2$ минимальны в одной точке, и это надо написать.
Для перпендикулярных дорог $s^2(t) = (a - v_1t)^2 + (b - v_2t)^2$ ; отрицательная скобка законна, а постоянная высота или зазор меняют только наименьшее расстояние, но не момент сближения.
Если вершина отрицательна, объекты только расходятся: минимум в начальный момент.
В задачах «на выбор скорости» время равно $\dfrac{S}{v} +$ потери; здесь уже нужна производная.
Ответ двойной: когда и сколько, с единицами.

СОВЕТ

Стратегия

Тайминг: $15$ - $20$ минут. Из всех сюжетов задания 17 этот считается самым техничным: модель однотипная, вся работа - в аккуратном возведении в квадрат.
Проверяй по катетам. Подставь $t_0$ в исходные выражения и убедись, что гипотенуза сходится: $8$ и $6$ дают $10$ , $60$ , $80$ и $75$ дают $125$ . Это ловит ошибку в раскрытии скобок за двадцать секунд.
Не раскрывай лишнего. Для вершины нужны только $A$ и $B$ ; свободный член $C$ понадобится один раз - при подсчёте $s^2(t_0)$ .
Единицы согласуй сразу. Скорость в м/с - время в секундах; скорость в км/ч - время в часах, и в конце переведи в минуты.
Не путай с соседним сюжетом. Если точка не движется, а её надо ВЫБРАТЬ на прямой (где причалить, где поставить пункт), это тема «Оптимальный маршрут»: там появляется корень $\sqrt{a^2 + x^2}$ и производная, а не парабола.

Проверь себя

Почему в задачах на сближение исследуют $s^2(t)$ , а не $s(t)$ ?
Объект в $a$ км от перекрёстка едет к нему со скоростью $v_1$ , второй - в $b$ км по перпендикулярной дороге со скоростью $v_2$ . Чему равен квадрат расстояния между ними?
Вершина параболы $s^2(t)$ оказалась в точке $t_0 = -0{,}3$ . Что это значит?
Два автомобиля едут по параллельным шоссе в одну сторону с одинаковой скоростью. Что происходит с расстоянием между ними?
Время доставки задано формулой $T(v) = \dfrac{S}{v} + kv^2$ . Почему у неё есть внутренний минимум?

Оптимизация в задачах на движение

Оптимизация в задачах на движение (Задание 17)

Главный факт темы

Три сюжета

Перпендикулярные дороги

Погоня и движение по одной прямой

Наименьшее время при переменной скорости

Алгоритм

Примеры решения

Записываем положения

Составляем квадрат расстояния

Находим вершину

Считаем расстояние

Вводим координаты

Составляем квадрат расстояния

Находим вершину

Считаем расстояние

Составляем функцию

Находим производную

Проверяем знаки

Считаем время

Составляем квадрат расстояния

Ищем вершину

Пользуемся монотонностью

Как оформить решение на 2 балла

Частые ошибки