Показательные уравнения

Приводим к общему основанию

Преобразуем уравнение, чтобы выделить $3^x$:

Подставим всё в исходное уравнение:

Делаем замену и решаем квадратное

Сделаем замену $t = 3^x$, причём $t > 0$:

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета сумма корней равна $12$, а произведение $27$. $t_1 = 9$, $t_2 = 3$. Оба корня положительные, оба подходят.

Обратная замена

Первый корень: $3^x = 9 \iff 3^x = 3^2 \implies x = 2$. Второй корень: $3^x = 3 \iff 3^x = 3^1 \implies x = 1$.

Ответ для пункта а: $1;\, 2$.

Отбираем корни на отрезке (пункт б)

Нужно проверить, какие из чисел $1$ и $2$ попадают в отрезок $[\log_2 3;\, \log_2 10]$. Представим наши корни в виде логарифмов по основанию $2$:

Сравним с границами отрезка. Так как основание логарифма $2 > 1$, функция $y = \log_2 x$ возрастает, и большему аргументу соответствует большее значение.

• $\log_2 2 < \log_2 3$, значит корень $x=1$ левее отрезка и не принадлежит ему.

• $\log_2 3 \leqslant \log_2 4 \leqslant \log_2 10$, значит корень $x=2$ принадлежит отрезку.

Приводим к одному основанию

Заметим, что $16^{\sin x} = (4^2)^{\sin x} = 4^{2\sin x}$. Уравнение принимает вид:

Замена и квадратное уравнение

Введём замену $t = 4^{\sin x}$, $t > 0$:

Найдём дискриминант:

Оба значения больше нуля.

Обратная замена

Случай 1: $4^{\sin x} = 2$ Представим левую часть как степень двойки: $(2^2)^{\sin x} = 2^1$

Отсюда получаем две серии корней:

Случай 2: $4^{\sin x} = \dfrac{1}{4}$

Отбор корней на отрезке (пункт б)

Выполним отбор корней на отрезке $\left[2\pi;\, \dfrac{7\pi}{2}\right]$ с помощью тригонометрической окружности.

Найдём нужные точки на выделенной дуге:

• Серия $x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k$ даёт точку $2\pi + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{13\pi}{6}$.

• Серия $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k$ даёт точку $2\pi + \dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{17\pi}{6}$.

• Серия $x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n$ совпадает с правой границей отрезка: $4\pi - \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{7\pi}{2}$ (или можно взять точку $-\dfrac{\pi}{2} + 4\pi = \dfrac{7\pi}{2}$).

Условия равенства дроби нулю

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель определён и не равен нулю. Запишем условия:

1. $4^{\sin 2x} - 2^{2\sqrt{2}\cos x} = 0$
2. $-\sin x > 0 \implies \sin x < 0$ (это наше ОДЗ)

Решаем уравнение числителя

Решаем уравнение из числителя:

Приведём к основанию $2$:

Приравниваем показатели степеней:

Применим формулу синуса двойного угла ($\sin 2x = 2\sin x\cos x$):

Вынесем общий множитель:

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $2\cos x = 0 \implies \cos x = 0$ Корни: $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \ZZ$.

2) $2\sin x - \sqrt{2} = 0 \implies \sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ Корни: $x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n$ и $x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m$.

Проверяем ОДЗ

Теперь самое важное - проверка ОДЗ ($\sin x < 0$).

• Для корней $\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ условие $\sin x < 0$ не выполняется, так как $\dfrac{\sqrt{2}}{2} > 0$. Эти корни являются посторонними.

• Серия $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k$ задаёт две точки на окружности: верхнюю ($\dfrac{\pi}{2}$) и нижнюю ($\dfrac{3\pi}{2}$). В верхней точке синус равен $1$ ($1 > 0$ - не подходит). В нижней точке синус равен $-1$ ($-1 < 0$ - подходит).

Значит, из серии $\dfrac{\pi}{2} + \pi k$ остаётся только нижняя точка. Запишем её: $x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k$ (или $\dfrac{3\pi}{2} + 2\pi k$).

Ответ для пункта а: $-\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \ZZ$.

Отбор корней двойным неравенством (пункт б)

Выполним отбор корней на отрезке $\left[\dfrac{3\pi}{2};\, 3\pi\right]$ с помощью двойного неравенства.

Разделим всё на $\pi$:

Прибавим $0{,}5$ ко всем частям:

Разделим на $2$:

Так как $k$ - целое число ($k \in \ZZ$), единственное возможное значение - это $k = 1$. Подставим $k = 1$ в нашу серию: $x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 1 = \dfrac{3\pi}{2}$.