Треугольники и их свойства

Пункт а: применяем свойство биссектрисы к треугольнику ABM

1. Возьми треугольник $ABM$. В нём отрезок $AK$ лежит на прямой $AL$, которая является биссектрисой угла $A$.
2. Следовательно, $AK$ - биссектриса в треугольнике $ABM$.
3. По свойству биссектрисы треугольника, она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
4. Применяя это свойство к $\triangle ABM$ и биссектрисе $AK$, получаем требуемое соотношение:

Что и требовалось доказать.

Пункт б: находим площадь ABM и отрезок AM

1. Медиана $BM$ делит треугольник $ABC$ на два равновеликих. Значит, площадь треугольника $ABM$ равна половине площади $ABC$:

2. Так как $BM$ - медиана исходного треугольника, точка $M$ - середина $AC$. Следовательно, $AM = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{10}{2} = 5$.

Пункт б: используем отношение из пункта «а» и считаем площадь

3. Из доказанного в пункте «а» мы знаем отношение отрезков на медиане $BM$:

Значит, на отрезок $BK$ приходится $6$ частей, а на отрезок $KM$ - $5$ частей. Весь отрезок $BM$ составляет $11$ частей. 4. Треугольники $AKM$ и $ABK$ имеют общую высоту, проведённую из вершины $A$ к прямой $BM$. Следовательно, их площади относятся как длины их оснований $KM$ и $BK$. 5. Площадь треугольника $AKM$ составляет $\dfrac{5}{11}$ от общей площади треугольника $ABM$:

Ответ: б) $\dfrac{120}{11}$

Пункт а: дополнительное построение - параллелограмм ACBK

1. Продли медиану $CM$ за точку $M$ на такое же расстояние: пусть точка $K$ такова, что $CM = MK$.
2. В четырёхугольнике $ACBK$ диагонали $AB$ и $CK$ точкой пересечения $M$ делятся пополам. Следовательно, $ACBK$ - параллелограмм.
3. По свойству параллелограмма $AK = BC$, а прямые $AK$ и $BC$ параллельны.
4. Так как $AK \parallel BC$, сумма односторонних углов равна $180^\circ$: $\angle CAK + \angle ACB = 180^\circ$, откуда $\angle CAK = 180^\circ - \angle ACB$.

Пункт а: равенство треугольников CAK и DCF

5. Теперь возьми треугольник $DCF$. $DC = AC$ (стороны квадрата $ACDE$), $CF = BC$ (стороны квадрата $CBFG$). Найдём угол $DCF$. Сумма углов с вершиной $C$ равна $360^\circ$:

Так как углы квадрата прямые:

6. Сравним треугольники $CAK$ и $DCF$:

   • $AC = DC$
   • $AK = BC = CF$
   • $\angle CAK = 180^\circ - \angle ACB = \angle DCF$

     Следовательно, $\triangle CAK = \triangle DCF$ по двум сторонам и углу между ними.

7. Из равенства треугольников следует, что $CK = DF$.

8. Так как $CK = 2CM$ (по построению), получаем $2CM = DF$, или $CM = \dfrac{1}{2}DF$. Что и требовалось доказать.

Пункт б: находим сторону AB по теореме косинусов

1. Нам нужно найти $DF$. Из пункта «а» мы знаем, что $DF = 2CM$, где $CM$ - медиана, проведённая к стороне $c$ ($AB$).
2. Найдём квадрат стороны $c$ в треугольнике $ABC$ по теореме косинусов ($a=8, b=6, \angle C = 120^\circ$):

Пункт б: формула длины медианы и ответ

3. Воспользуемся формулой длины медианы:

4. Упростим корень: $\sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$.

5. Тогда искомый отрезок $DF = 2CM = 2\sqrt{13}$.

Ответ: б) $2\sqrt{13}$