Поиск

Применение производной к исследованию функций

Содержание

Суть темы

Задание 9 проверяет понимание того, как производная связана с поведением самой функции. Это одно из самых быстрых заданий первой части - если чётко понимать правила игры.

Главная сложность темы - психологическая. Чаще всего в условии дан график производной y=f′(x)y = f'(x), а вопрос задают про саму функцию f(x)f(x). Реже - наоборот: дан график f(x)f(x), спрашивают про f′f'. В обоих случаях визуальные «холмы» и «впадины» рисунка сами по себе ничего не значат: всё решает знак производной.

Ключевые правила и факты

Всё решение строится на анализе знака производной, а не её величины. Смотри только на то, где график производной находится относительно оси XX.

Точки максимума и минимума (экстремумы) - это моменты, когда функция меняет направление движения. На языке производной это означает смену знака.

Связь графика производной и поведения функции

Обратное направление работает зеркально. Если тебе дан график самой функции f(x)f(x) и спрашивают про производную, читай рисунок так: где ff растёт - там f′>0f' > 0, где падает - там f′<0f' < 0, где у ff вершина холма или дно впадины (гладкий экстремум) - там f′=0f' = 0.

Отдельный приём - числовая ось со знаками производной. На ЕГЭ её обычно достаточно представить мысленно, но если в условии много экстремумов, удобно быстро нарисовать на черновике.

Числовая ось со знаками f'

Алгоритм решения

Внимательность к формулировке спасает баллы в этом задании.

Примеры решения

Ниже - три прототипа по графику f′(x)f'(x) (они чаще всего встречаются на ЕГЭ) и один пример обратного направления: по графику f(x)f(x) о свойствах f′f'.

Пример 1. Точки на промежутках монотонности

Условие: На рисунке изображён график y=f′(x)y = f'(x) - производной функции f(x)f(x). На оси абсцисс отмечено семь точек: x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции f(x)f(x)?

График производной с отмеченными точками
Пример 2. Поиск точек экстремума на отрезке

Условие: На рисунке изображён график y=f′(x)y = f'(x) - производной функции f(x)f(x), определённой на интервале (−8; 11)(-8;\, 11). Найдите количество точек максимума функции f(x)f(x), принадлежащих отрезку [−5; 8][-5;\, 8].

График производной для поиска экстремумов

В следующем примере нужно определить не количество точек, а конкретное значение xx. Это требует понимания поведения функции на краях отрезка.

Пример 3. Наименьшее значение функции на отрезке

Условие: На рисунке изображён график y=f′(x)y = f'(x) - производной функции f(x)f(x), определённой на интервале (−5; 7)(-5;\, 7). В какой точке отрезка [−2; 4][-2;\, 4] функция f(x)f(x) принимает наименьшее значение?

График производной: поиск наименьшего значения

Отдельно разберём обратное направление: график самой функции и вопрос про производную.

Пример 4. По графику f(x)f(x) о производной

Условие: На рисунке изображён график функции y=f(x)y = f(x), определённой на интервале (−6; 8)(-6;\, 8). На оси абсцисс отмечены точки −4-4, −2-2, 00, 11, 33, 55, 77. В скольких из этих точек производная f′(x)f'(x) положительна?

График функции с отмеченными точками на оси X

Частые ошибки

Что запомнить

Держи в голове этот краткий словарь перевода с языка функции на язык производной:

  • Функция растёт   ⟺  \iff График f′(x)f'(x) выше нуля.
  • Функция падает   ⟺  \iff График f′(x)f'(x) ниже нуля.
  • Максимум функции   ⟺  \iff График f′(x)f'(x) пробивает ось XX сверху вниз.
  • Минимум функции   ⟺  \iff График f′(x)f'(x) пробивает ось XX снизу вверх.
  • Наибольшее/наименьшее значение   ⟺  \iff Анализируем рост/падение на всём отрезке.

Стратегия на экзамене

Проверь себя
  1. Дан график производной y=f′(x)y = f'(x). Где функция f(x)f(x) возрастает?
  2. График f′(x)f'(x) пересекает ось XX сверху вниз в точке x0x_0. Что это за точка для функции f(x)f(x)?
  3. Производная f′(x)f'(x) отрицательна на всём отрезке [a; b][a;\, b]. Где функция f(x)f(x) принимает наименьшее значение на этом отрезке?
  4. Дан график самой функции y=f(x)y = f(x). В каких точках f′(x)>0f'(x) > 0?