Угол между плоскостями

Содержание

Угол между плоскостями (Задание 15)
Суть темы и определения
Основные методы
Алгоритмы решения
Примеры решения
Частые ошибки
Что запомнить
Стратегия на экзамене
За что дают баллы

Угол между плоскостями (Задание 15)

Задание 15 проверяет твоё пространственное мышление и знание стереометрии. Нахождение угла между плоскостями - один из самых популярных вопросов в пункте «б» этого задания (встречается в сечениях призм, пирамид и параллелепипедов).

Решать такие задачи можно двумя путями: классическим (через дополнительные построения) и координатным (через векторы). Оба метода абсолютно легальны на ЕГЭ, и владеть нужно обоими, так как для разных задач оптимальны разные подходы.

Суть темы и определения

Сначала нужно чётко понимать, что именно мы ищем.

Чтобы измерить двугранный угол, нужно построить его линейный угол.

Основные методы

1. Классический метод

Основан на построении линейного угла. Главный инструмент здесь - Теорема о трёх перпендикулярах (ТТП).

2. Метод координат

Если фигура «удобная» (куб, прямоугольный параллелепипед, правильная призма) и в ней легко ввести прямоугольную систему координат, угол можно найти через нормальные векторы плоскостей. Вектор нормали $\vec{n}\{A;\, B;\, C\}$ - это вектор, перпендикулярный плоскости. Его координаты берутся из общего уравнения плоскости: $Ax + By + Cz + D = 0$ .

ВАЖНОЕ

Угол между плоскостями через векторы

Косинус угла $\alpha$ между двумя плоскостями равен модулю косинуса угла между их векторами нормалей $\vec{n_1}\{A_1;\, B_1;\, C_1\}$ и $\vec{n_2}\{A_2;\, B_2;\, C_2\}$ :

\cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{|A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}

Алгоритмы решения

АЛГОРИТМ

Выбор и реализация метода

Путь А: Классический метод

Найди линию пересечения двух плоскостей (ребро двугранного угла).
Выбери удобную точку (чаще всего вершину фигуры) в одной плоскости и опусти из неё перпендикуляр на другую плоскость.
Из основания этого перпендикуляра проведи перпендикуляр к линии пересечения плоскостей (это будет проекция).
Соедини полученную точку на линии пересечения с исходной точкой. По ТТП эта наклонная тоже будет перпендикулярна ребру.
Искомый угол - это угол между наклонной и проекцией в прямоугольном треугольнике. Найди его через синус, косинус или тангенс.

Путь Б: Метод координат

Введи систему координат $(x; y; z)$ . Помести начало координат в удобную вершину, оси направь вдоль рёбер с прямыми углами.
Найди координаты трёх точек для первой плоскости и трёх точек для второй плоскости.
Составь уравнения обеих плоскостей ( $Ax + By + Cz + D = 0$ ), подставив координаты точек в систему из трёх уравнений.
Выпиши векторы нормалей $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ .
Подставь координаты векторов в формулу косинуса угла и найди ответ.

Примеры решения

Разберём два примера: один решим классически, второй - координатами.

Пример 1. Классический метод (через ТТП)

Условие: В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все рёбра равны $6$ . Найдите угол между плоскостью $A_1BC$ и плоскостью основания $ABC$ .

Ищем линию пересечения

Правильная призма и угол между плоскостями

Плоскости $A_1BC$ и $ABC$ пересекаются по прямой $BC$ .

Строим линейный угол

Из точки $A_1$ опустим перпендикуляр на плоскость основания. Так как призма правильная, боковое ребро $A_1A$ перпендикулярно плоскости $ABC$ . Значит, точка $A$ - проекция точки $A_1$ . В плоскости основания $ABC$ проведём высоту $AH$ к стороне $BC$ . Так как $AH \perp BC$ , то по теореме о трёх перпендикулярах наклонная $A_1H$ также перпендикулярна $BC$ . Таким образом, $AH \perp BC$ и $A_1H \perp BC$ . Следовательно, $\angle A_1HA$ - искомый линейный угол двугранного угла.

Вычисляем угол

В прямоугольном треугольнике $A_1AH$ прямой угол находится при вершине $A$ . Катет $A_1A$ равен боковому ребру призмы, то есть $A_1A = 6$ . Катет $AH$ - это высота правильного треугольника $ABC$ со стороной $6$ . Формула высоты правильного треугольника: $h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ .

AH = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}

Найдём тангенс искомого угла $\alpha$ :

\tg \alpha = \frac{A_1A}{AH} = \frac{6}{3\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}

Отсюда $\alpha = \arctg \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ .

Ответ: $\arctg \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

Пример 2. Метод координат

Условие: В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны рёбра: $AB = 3$ , $AD = 4$ , $AA_1 = 5$ . На ребре $AA_1$ отмечена точка $M$ так, что $AM : MA_1 = 3 : 2$ . Найдите угол между плоскостью $BDM$ и плоскостью основания $ABC$ .

Вводим систему координат

Прямоугольный параллелепипед и оси координат

В прямоугольном параллелепипеде все углы прямые, поэтому метод координат здесь сработает идеально.

Начало координат поместим в точку $A(0;\, 0;\, 0)$ . Ось $Ox$ направим вдоль $AB$ , ось $Oy$ - вдоль $AD$ , ось $Oz$ - вдоль $AA_1$ .

Определяем координаты точек

Плоскость $ABC$ совпадает с плоскостью $Oxy$ . Её уравнение $z = 0$ , а вектор нормали $\vec{n_1}\{0;\, 0;\, 1\}$ .

Для плоскости $BDM$ найдём координаты трёх точек:

Точка $B$ лежит на оси $Ox$ : $B(3;\, 0;\, 0)$ .
Точка $D$ лежит на оси $Oy$ : $D(0;\, 4;\, 0)$ .
Точка $M$ лежит на оси $Oz$ . Так как $AM : MA_1 = 3 : 2$ , а вся длина $AA_1 = 5$ , то длина отрезка $AM = 3$ . Координаты $M(0;\, 0;\, 3)$ .

Составляем уравнение плоскости $BDM$

Общий вид: $Ax + By + Cz + D = 0$ . Подставим точки: Для $B(3; 0; 0)$ : $3A + D = 0 \implies A = -\dfrac{D}{3}$ Для $D(0; 4; 0)$ : $4B + D = 0 \implies B = -\dfrac{D}{4}$ Для $M(0; 0; 3)$ : $3C + D = 0 \implies C = -\dfrac{D}{3}$

Пусть $D = -12$ (чтобы избавиться от дробей). Тогда: $A = 4$ , $B = 3$ , $C = 4$ . Уравнение плоскости: $4x + 3y + 4z - 12 = 0$ . Вектор нормали $\vec{n_2}\{4;\, 3;\, 4\}$ .

Вычисляем косинус угла

\vec{n_1}\{0;\, 0;\, 1\}

\vec{n_2}\{4;\, 3;\, 4\}

\cos \alpha = \frac{|0 \cdot 4 + 0 \cdot 3 + 1 \cdot 4|}{\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} \cdot \sqrt{4^2 + 3^2 + 4^2}} = \frac{|4|}{1 \cdot \sqrt{16 + 9 + 16}} = \frac{4}{\sqrt{41}}

Искомый угол $\alpha = \arccos \dfrac{4}{\sqrt{41}}$ .

Ответ: $\arccos \dfrac{4}{\sqrt{41}}$

Частые ошибки

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Произвольные прямые вместо перпендикуляров

Ошибка: Взять любую прямую в плоскости $\alpha$ и любую прямую в плоскости $\beta$ и объявить угол между ними углом между плоскостями. Правильно: Линейный угол образуют строго те прямые, которые перпендикулярны ребру (линии пересечения плоскостей). Если провести прямые под другим углом к ребру, полученный угол в общем случае не совпадёт с реальным углом между плоскостями (он может оказаться как меньше, так и больше).

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Отрицательный косинус в методе координат

Ошибка: Вычислить косинус через скалярное произведение векторов, получить отрицательное число (например, $-0{,}5$ ) и записать в ответ тупой угол ( $120^\circ$ ). Правильно: Угол между плоскостями не может быть тупым. Обязательно бери числитель формулы по модулю. Если векторы образуют тупой угол, то плоскости всё равно образуют смежный с ним острый $\left(180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\right)$ .

Что запомнить

Угол между плоскостями всегда $\leqslant 90^\circ$ .
Чтобы найти угол геометрически, ищи линию пересечения плоскостей и применяй Теорему о трёх перпендикулярах.
Если фигура имеет много прямых углов (куб, прямоугольный параллелепипед, правильная призма) - смело используй метод координат. Это убережёт от сложных дополнительных построений.
Вектор нормали к плоскости основания (пола) при стандартном расположении осей всегда имеет координаты $\{0;\, 0;\, 1\}$ .

Стратегия на экзамене

СОВЕТ

Стратегия выполнения

Ориентировочное время: 20-30 минут на всё задание 15.
Очерёдность: Приступай к заданию 15 после того, как решил уравнения (14), неравенства (16) и прикладную задачу (17). Стереометрия требует времени на аккуратный чертёж и расчёты.
Хитрость оценивания: Пункты «а» и «б» оцениваются независимо. Часто доказать перпендикулярность в пункте «а» бывает сложно, а найти угол в пункте «б» координатным методом - дело 5 минут. Решай пункт «б», даже если не удалось доказать пункт «а». За верный расчёт ты получишь свой законный 1 балл (а если сошлёшься на факты из пункта «а» как на данность - тоже 1 балл).
Проверка метода: Если на поиск линейного угла уже ушло 5-7 минут, а чертёж превратился в кашу из дополнительных линий - бросай классический метод и вводи систему координат.

За что дают баллы

Задание 15 оценивается максимум в 3 балла. Эксперты будут проверять твою работу по следующим критериям:

3 балла: Безупречно доказано утверждение в пункте «а» и верно найден ответ в пункте «б». Все шаги математически обоснованы.
2 балла: Есть два варианта. Либо пункт «а» доказан, пункт «б» почти дожат, но есть обидная вычислительная ошибка (например, $2+2=5$ , но логика верна). Либо пункт «б» решён идеально, но пункт «а» остался нерешённым.
1 балл: Верно и полно доказан только пункт «а». Либо пункт «а» не доказан, но при решении пункта «б» использован его результат как данность и получен верный ответ (или неверный из-за арифметической ошибки при правильной логике одного из пунктов).
0 баллов: Решение не содержит математически верных продвижений ни в одном из пунктов, либо дан только готовый ответ без обоснований.

Проверь себя

В каком диапазоне лежит угол между двумя пересекающимися плоскостями?
Как строится линейный угол двугранного угла?
Нормали плоскостей: $\vec{n_1}\{0;\, 0;\, 1\}$ и $\vec{n_2}\{1;\, 0;\, 1\}$ . Чему равен косинус угла между плоскостями?
Скалярный способ дал $\cos\varphi = -0{,}5$ для угла между нормалями. Каков угол между плоскостями?

Угол между плоскостями

Угол между плоскостями (Задание 15)

Суть темы и определения

Основные методы

1. Классический метод

2. Метод координат

Алгоритмы решения

Примеры решения

Ищем линию пересечения

Строим линейный угол

Вычисляем угол

Вводим систему координат

Определяем координаты точек

Составляем уравнение плоскости BDMBDMBDM

Вычисляем косинус угла

Частые ошибки

Что запомнить

Стратегия на экзамене

За что дают баллы

Составляем уравнение плоскости $BDM$