Системы с параметром

Анализируем первое уравнение

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует. ОДЗ: $x + 3 \geqslant 0 \implies x \geqslant -3$. Уравнение распадается на две части:

• $x + 3 = 0 \implies x = -3$. При этом значении корень равен нулю, значит, $y$ может быть любым. График - вертикальная прямая $x = -3$.

• $x^2 + y^2 - 25 = 0 \implies x^2 + y^2 = 25$. Это окружность с центром $(0;\, 0)$ и радиусом $R = 5$. Но она существует только там, где $x \geqslant -3$.

Итак, график первого уравнения - это вертикальная прямая $x = -3$ и дуга окружности $x^2 + y^2 = 25$, расположенная правее этой прямой. Точки пересечения дуги и прямой: подставим $x = -3$ в уравнение окружности: $(-3)^2 + y^2 = 25 \implies y^2 = 16 \implies y = \pm 4$. Концы дуги - точки $A(-3;\, 4)$ и $B(-3;\, -4)$.

Анализируем второе уравнение

Вынесем $a$ за скобки: $y = a(x + 5)$. Это уравнение пучка прямых, проходящих через фиксированную точку. Чтобы её найти, обнулим скобку: $x = -5$. При этом $y = 0$. Значит, прямая всегда проходит через точку $P(-5;\, 0)$, а параметр $a$ задаёт её угловой коэффициент (скорость вращения).

Ищем количество решений

Точка вращения $P(-5;\, 0)$ лежит на исходной окружности $x^2 + y^2 = 25$ (так как $(-5)^2 + 0^2 = 25$). Но она находится в запрещённой зоне $x < -3$, поэтому сама по себе решением не является. Любая прямая, проходящая через точку на окружности, пересекает эту окружность ровно в одной другой точке (за исключением касательной $x = -5$).

Нас просят найти значения $a$, при которых система имеет ровно 2 решения. Прямая $y = a(x + 5)$ всегда пересекает прямую $x = -3$ в точке $C(-3;\, 2a)$. Это первое решение, оно есть при любых $a$. Значит, дуга окружности должна дать ровно одно дополнительное решение, не совпадающее с точкой $C$.

Так как прямая выходит из $P(-5;\, 0)$, она пересечёт дугу $x \geqslant -3$ только если пройдёт внутри угла $APB$. Найдём угловые коэффициенты для крайних лучей $PA$ и $PB$:

• Луч $PA$ проходит через $A(-3;\, 4)$: $4 = a(-3 + 5) \implies 2a = 4 \implies a = 2$.

• Луч $PB$ проходит через $B(-3;\, -4)$: $-4 = a(-3 + 5) \implies 2a = -4 \implies a = -2$.

Если $a \in (-2;\, 2)$, прямая пройдёт внутри дуги и даст ровно одно пересечение с ней. Итого будет 2 решения: одно на прямой $x = -3$, второе на дуге. Если $a = 2$, прямая пройдёт через точку $A(-3;\, 4)$. Эта точка лежит одновременно и на вертикальной прямой $x = -3$, и на дуге, то есть одна и та же точка даётся двумя множителями - это одно решение, а не два. Будет всего 1 решение. Аналогично при $a = -2$ прямая пройдёт через $B(-3;\, -4)$, дав 1 решение. Если $a > 2$ или $a < -2$, прямая пересечёт только вертикальную линию $x = -3$. Будет 1 решение.

Следовательно, ровно 2 решения получаются строго внутри интервала.

Ответ: $a \in (-2;\, 2)$

Узнаём фигуры

• Первое уравнение: окружность $\omega_1$ с центром $O_1(3;\, 0)$ и радиусом $R_1 = 2$. Фиксированная.

• Второе уравнение: окружность $\omega_2$ с центром $O_2(0;\, 0)$ и радиусом $R_2 = |a|$. Радиус зависит от параметра.

При $a = 0$ окружность $\omega_2$ вырождается в точку $(0;\, 0)$, которая не лежит на $\omega_1$ (проверяем: $(0-3)^2 + 0^2 = 9 \neq 4$). Значит, $a = 0$ не даёт решений.

Формулируем геометрическое условие

Две окружности с расстоянием между центрами $d$ и радиусами $R_1,\, R_2$ пересекаются ровно в двух точках, если

Если $d = R_1 + R_2$ (внешнее касание) или $d = |R_1 - R_2|$ (внутреннее касание) - ровно одна общая точка. Если $d > R_1 + R_2$ или $d < |R_1 - R_2|$ - общих точек нет.

У нас $d = 3$, $R_1 = 2$, $R_2 = |a|$. Запишем двойное неравенство:

Решаем неравенства

Правая часть: $3 < 2 + |a| \iff |a| > 1$.

Левая часть: $|2 - |a|| < 3 \iff -3 < 2 - |a| < 3 \iff -5 < -|a| < 1 \iff -1 < |a| < 5$. Так как $|a| \geqslant 0$, условие сводится к $|a| < 5$.

Пересекаем оба условия: $1 < |a| < 5$.

Раскрываем модуль

$|a| > 1 \iff a < -1$ или $a > 1$. $|a| < 5 \iff -5 < a < 5$. Пересечение: $a \in (-5;\, -1) \cup (1;\, 5)$.

Ответ: $a \in (-5;\, -1) \cup (1;\, 5)$.

Выделение полных квадратов

Домножим второе уравнение на $2$: $2xy = 2a - 1$. Сложим первое уравнение с удвоенным вторым: $x^2 + y^2 + 2xy = 2a + 2a - 1 \implies (x + y)^2 = 4a - 1$.

Вычтем удвоенное второе из первого: $x^2 + y^2 - 2xy = 2a - (2a - 1) \implies (x - y)^2 = 1$.

Замена переменных

Пусть $u = x + y$, $v = x - y$. Система принимает вид:

Заметим, что любая пара чисел $(u;\, v)$ однозначно задаёт ровно одну пару $(x;\, y)$. Действительно, сложив замены, получим $2x = u + v \implies x = \dfrac{u + v}{2}$. Вычтя, получим $y = \dfrac{u - v}{2}$. Значит, чтобы исходная система имела 4 решения, новая система относительно $u$ и $v$ также должна иметь ровно 4 решения.

Анализ количества решений

Из второго уравнения $v^2 = 1$ получаем ровно два значения: $v = 1$ или $v = -1$. Чтобы общее число комбинаций $(u;\, v)$ было равно $4$, первое уравнение $u^2 = 4a - 1$ должно давать ровно $2$ решения для $u$. Уравнение вида $u^2 = t$ имеет два корня только тогда, когда $t > 0$. Следовательно: $4a - 1 > 0 \implies 4a > 1 \implies a > \dfrac{1}{4}$.

При $a = 0{,}25$ получим $u^2 = 0 \implies u = 0$. Будет две комбинации $(0;\, 1)$ и $(0;\, -1)$, то есть 2 решения. Не подходит. При $a < 0{,}25$ квадрат равен отрицательному числу, решений нет.

Ответ: $a \in (0{,}25;\, +\infty)$