Уравнения с параметром

Содержание

Уравнения с параметром (Задание 19)
Основные методы и формулы
Общий алгоритм решения
Примеры решения
Частые ошибки
Стратегия на экзамене
За что дают баллы

Уравнения с параметром (Задание 19)

Задание 19 - это задача высокого уровня сложности, за которую можно получить целых 4 первичных балла. Суть задачи с параметром состоит в том, что в уравнении (или системе), помимо неизвестной переменной $x$ , присутствует буква $a$ .

Параметр $a$ - это просто число, которое пока неизвестно. Твоя задача - не просто найти $x$ , а провести исследование: узнать, как ведёт себя уравнение при абсолютно всех возможных значениях $a$ .

На экзамене большинство задач на позиции 18 - это именно уравнения с параметром. Чаще всего просят найти значения $a$ , при которых уравнение имеет ровно одно, ровно два решения или решения на заданном отрезке.

Основные методы и формулы

Глобально все задачи с параметром решаются двумя путями: аналитическим (через формулы и теоремы) и графическим (через построение функций на координатной плоскости).

Потренируй этот приём на самой простой функции $g(x) = x^2$ :

ЗАМЕЧАНИЕ

Графический метод 2: плоскость (x; a)

Если переменные $x$ и $a$ переплетены и не разделяются (например, в уравнениях с модулями $|x - a^2| + |x + 1| = ...$ ), строй график уравнения сразу на плоскости, где по горизонтали откладывается $x$ , а по вертикали - параметр $a$ . Каждое решение уравнения - это точка $(x;\, a)$ на этом графике. Чтобы найти количество корней при конкретном $a$ , проведи горизонтальную прямую на высоте $a$ и посчитай точки пересечения с графиком. Этот метод особенно мощный для уравнений с модулями и кусочно-линейных функций.

Для аналитического метода критически важно знать свойства квадратного трёхчлена. Большинство уравнений с помощью замен сводятся к квадратному.

Иллюстрация графического метода 1 на плоскости (x

Все три случая по $D$ видны на графике: следи за точками $x_1$ , $x_2$ и вершиной $V$ .

Общий алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Алгоритм исследования уравнения с параметром

Выпиши ОДЗ. Если есть дроби, корни чётной степени или логарифмы - сразу зафиксируй ограничения на $x$ .
Выбери метод. Если переменные легко разделить по разные стороны от знака равенства ( $g(x) = h(a)$ ) - используй графику. Если уравнение сводится к квадратному - используй аналитику (дискриминант, теорему Виета).
Реши базовое уравнение. Найди корни $x_1, x_2$ через параметр $a$ .
Проверь условия совпадения. Найди значения $a$ , при которых корни совпадают ( $x_1 = x_2$ ). В этих точках количество различных решений уменьшается.
Проверь ограничения (ОДЗ). Подставь найденные корни в ОДЗ и выясни, при каких $a$ корни становятся «посторонними» (обнуляют знаменатель или делают подкоренное выражение отрицательным).
Собери ответ. Нарисуй числовую прямую для $a$ , отметь все критические точки и выпиши количество решений на каждом интервале. Выбери те интервалы, которые просят в условии.

Примеры решения

Ниже разобраны два классических примера: дробно-рациональное уравнение и иррациональное уравнение с ограничением на отрезок. Оба решаются аналитически.

Пример 1. Дробно-рациональное уравнение

Условие: Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

\frac{4x^2 - a^2}{x^2 + 6x + 9 - a^2} = 0

имеет ровно два различных корня.

Приравниваем числитель к нулю

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

4x^2 - a^2 = 0 \implies (2x - a)(2x + a) = 0

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = \frac{a}{2}$ и $x_2 = -\frac{a}{2}$ .

Выписываем ограничения знаменателя

x^2 + 6x + 9 - a^2 \neq 0

Заметим формулу квадрата суммы: $(x + 3)^2 - a^2 \neq 0$ . Раскладываем как разность квадратов:

(x + 3 - a)(x + 3 + a) \neq 0

Значит, $x \neq a - 3$ и $x \neq -a - 3$ . Это наше ОДЗ.

Условие «ровно два различных корня»

Чтобы корней было ровно два, должны выполняться два требования: Требование А: Корни $x_1$ и $x_2$ не должны совпадать друг с другом.

\frac{a}{2} \neq -\frac{a}{2} \implies a \neq 0

Требование Б: Ни один из корней не должен попадать в запрещённые значения (иначе он станет посторонним, и корень останется только один, либо ноль). Подставим $x_1$ и $x_2$ в запрещённые значения и найдём «плохие» $a$ :

$\frac{a}{2} = a - 3 \implies \frac{a}{2} = 3 \implies a = 6$
$\frac{a}{2} = -a - 3 \implies \frac{3a}{2} = -3 \implies a = -2$
$-\frac{a}{2} = a - 3 \implies \frac{3a}{2} = 3 \implies a = 2$
$-\frac{a}{2} = -a - 3 \implies \frac{a}{2} = -3 \implies a = -6$

При этих четырёх значениях $a$ один из числителей обнуляет знаменатель.

Собираем ответ

Нам подходят любые действительные числа, кроме $0$ (когда корни слипаются) и $\{-6;\, -2;\, 2;\, 6\}$ (когда один из корней выкалывается знаменателем).

В виде промежутков: $(-\infty;\, -6) \cup (-6;\, -2) \cup (-2;\, 0) \cup (0;\, 2) \cup (2;\, 6) \cup (6;\, +\infty)$ .

Пример 2. Иррациональное уравнение на отрезке

Условие: Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

\sqrt{x^2 - a^2} = \sqrt{4x^2 - (4a+2)x + 2a}

на отрезке $[0;\, 1]$ имеет ровно один корень.

Возводим в квадрат

Возведём обе части в квадрат. Чтобы переход был равносильным, достаточно потребовать неотрицательность одного из подкоренных выражений (выбираем то, которое проще):

\begin{cases} x^2 - a^2 = 4x^2 - 4ax - 2x + 2a \\ x^2 - a^2 \geqslant 0 \end{cases}

Решаем уравнение системы

Перенесём всё в правую часть:

3x^2 - 2(2a+1)x + a^2 + 2a = 0

Найдём дискриминант, делённый на $4$ (так как коэффициент при $x$ чётный):

\frac{D}{4} = (2a+1)^2 - 3(a^2 + 2a) = 4a^2 + 4a + 1 - 3a^2 - 6a = a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2

Так как $D \geqslant 0$ при любых $a$ , находим корни:

x = \frac{(2a+1) \pm (a-1)}{3}

x_1 = \frac{3a}{3} = a

x_2 = \frac{a+2}{3}

Проверяем ОДЗ ( $x^2 - a^2 \geqslant 0$ )

Для $x_1 = a$ : $a^2 - a^2 = 0 \geqslant 0$ - выполняется всегда. Корень $x_1$ существует при любых $a$ . Для $x_2 = \frac{a+2}{3}$ :

\left(\frac{a+2}{3}\right)^2 - a^2 \geqslant 0 \implies \frac{a^2 + 4a + 4 - 9a^2}{9} \geqslant 0 \implies -8a^2 + 4a + 4 \geqslant 0

Разделим на $-4$ (сменив знак неравенства):

2a^2 - a - 1 \leqslant 0

Корни соответствующего уравнения: $1$ и $-1/2$ . Значит, условие выполняется при $a \in \left[-\frac{1}{2};\, 1\right]$ . Корень $x_2$ существует только на этом отрезке.

Проверяем попадание на отрезок $x \in [0;\, 1]$

Условие задачи требует, чтобы корень лежал на $[0;\, 1]$ . Корень $x_1 = a$ лежит на отрезке, если $a \in [0;\, 1]$ . Корень $x_2 = \frac{a+2}{3}$ лежит на отрезке, если $0 \leqslant \frac{a+2}{3} \leqslant 1 \implies 0 \leqslant a+2 \leqslant 3 \implies a \in [-2;\, 1]$ . Но помним про ОДЗ! $x_2$ существует и попадает на отрезок одновременно при пересечении множеств $\left[-\frac{1}{2};\, 1\right]$ и $[-2;\, 1]$ . Это промежуток $\left[-\frac{1}{2};\, 1\right]$ .

Ищем количество корней на отрезке в зависимости от $a$

Заметим, что корни могут совпадать. $x_1 = x_2 \implies a = \frac{a+2}{3} \implies 3a = a + 2 \implies 2a = 2 \implies a = 1$ . При $a=1$ оба корня равны $1$ , то есть корень ровно один.

Анализируем интервалы для параметра $a$ :

При $a < -1/2$ : $x_1$ не на отрезке, $x_2$ не существует. (0 корней)
При $a \in \left[-\frac{1}{2};\, 0\right)$ : $x_1$ ещё не на отрезке (он отрицательный), а вот $x_2$ существует и лежит на отрезке. (Ровно 1 корень!)
При $a \in [0;\, 1)$ : $x_1$ лежит на отрезке. $x_2$ тоже лежит на отрезке. Они не равны друг другу. (2 корня)
При $a = 1$ : $x_1 = x_2 = 1$ . Корень на отрезке. (Ровно 1 корень!)
При $a > 1$ : $x_1 > 1$ , $x_2$ не существует. (0 корней)

Нам нужны те $a$ , при которых корень ровно один. Это промежуток $\left[-\frac{1}{2};\, 0\right)$ и изолированная точка $a = 1$ .

Числовая прямая для параметра a к примеру 2

Пример 3. Графический метод (замена + подсчёт корней)

Условие: Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

(x^2 - 2x)^2 - 2(x^2 - 2x) = a

имеет ровно три различных корня.

Замена переменной

Введём замену $t = x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1$ . Так как $(x - 1)^2 \geqslant 0$ , имеем $t \geqslant -1$ . Уравнение принимает вид:

t^2 - 2t = a, \quad t \geqslant -1

Строим график $g(t) = t^2 - 2t$ при $t \geqslant -1$

$g(t) = (t - 1)^2 - 1$ . Это парабола ветвями вверх с вершиной в точке $(1;\, -1)$ . Левая граница: $g(-1) = 1 + 2 = 3$ .

Ключевая идея: сколько значений $x$ даёт каждое значение $t$ ?

Из замены $t = (x - 1)^2 - 1$ находим $(x - 1)^2 = t + 1$ :

Если $t > -1$ : два значения $x = 1 \pm \sqrt{t + 1}$ .
Если $t = -1$ : одно значение $x = 1$ .

Считаем общее число корней по $x$ для каждого $a$

Двигаем горизонтальную прямую $y = a$ по графику $g(t)$ :

$a < -1$ : прямая ниже вершины, нет значений $t$ . ( $0$ корней по $x$ )
$a = -1$ : одно значение $t = 1 > -1$ $\implies$ $2$ корня по $x$ .
$-1 < a < 3$ : два значения $t$ , оба строго больше $-1$ $\implies$ $2 + 2 = 4$ корня по $x$ .
$a = 3$ : два значения $t$ : $t_1 = -1$ (даёт $1$ корень) и $t_2 = 3$ (даёт $2$ корня) $\implies$ $1 + 2 = 3$ корня по $x$ .
$a > 3$ : одно значение $t > -1$ $\implies$ $2$ корня по $x$ .

Ровно три корня получается только при $a = 3$ .

Проверяем найденное значение

Проверим: при $t = -1$ получаем $x = 1$ . При $t = 3$ получаем $(x-1)^2 = 4$ , то есть $x = -1$ и $x = 3$ . Три корня: $\{-1;\, 1;\, 3\}$ .

Частые ошибки

Стратегия на экзамене

СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 19

Время выполнения: 30-40 минут.
Очерёдность: Оставляй это задание на самый конец, вместе с 20-м (теория чисел) и 18-м (планиметрия).
План «минимум»: Даже если задача кажется сложной, попробуй её преобразовать. Построй графики понятных частей уравнения, вырази $a$ через $x$ или приведи к квадратному уравнению и выпиши дискриминант. За верное сведение задачи к математической модели (например, к графическому исследованию) дают 1 балл.
Проверка: После получения итогового множества выбери по одному числу $a$ из ответа и из «выколотых» точек. Подставь их в исходное уравнение и проверь число решений. Это спасёт от глупых ошибок со скобками.

За что дают баллы

В задании 19 можно получить от 0 до 4 баллов. Оценивается продвижение и логика:

4 балла (Максимум): Обоснованно получен абсолютно правильный ответ. Логика безупречна, все критические точки найдены и проверены.
3 балла: Решение полностью верное, но ответ отличается от правильного только включением или исключением граничных точек (например, написана круглая скобка вместо квадратной из-за невнимательности к границе ОДЗ).
2 балла: Верным логическим рассуждением получен какой-то промежуток (то есть метод выбран правильно и доведён до конца), ИЛИ допущена одна вычислительная ошибка, с которой решение корректно доведено до ответа.
1 балл: Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения графиков или аналитическому исследованию корней квадратного уравнения (выписаны нужные условия), но само исследование не завершено.
0 баллов: Решение не соответствует ни одному из критериев выше.

Проверь себя

Уравнение $g(x) = a$ решают графически на плоскости $(x;\, y)$ . Что показывает число точек пересечения графика $y = g(x)$ с прямой $y = a$ ?
Квадратное уравнение $Ax^2 + Bx + C = 0$ ( $A \neq 0$ ) имеет ровно один корень. Что верно для дискриминанта?
В примере 1 значение $a = 0$ исключили из ответа, потому что при $a = 0$ ...
Возводим в квадрат уравнение $\sqrt{f(x)} = g(x)$ . Какое условие нужно добавить для равносильности перехода?

Уравнения с параметром

Уравнения с параметром (Задание 19)

Основные методы и формулы

Общий алгоритм решения

Примеры решения

Приравниваем числитель к нулю

Выписываем ограничения знаменателя

Условие «ровно два различных корня»

Собираем ответ

Возводим в квадрат

Решаем уравнение системы

Проверяем ОДЗ (x2−a2⩾0x^2 - a^2 \geqslant 0x2−a2⩾0)

Проверяем попадание на отрезок x∈[0; 1]x \in [0;\, 1]x∈[0;1]

Ищем количество корней на отрезке в зависимости от aaa

Замена переменной

Строим график g(t)=t2−2tg(t) = t^2 - 2tg(t)=t2−2t при t⩾−1t \geqslant -1t⩾−1

Ключевая идея: сколько значений xxx даёт каждое значение ttt?

Считаем общее число корней по xxx для каждого aaa

Проверяем найденное значение

Частые ошибки

Стратегия на экзамене

За что дают баллы

Проверяем ОДЗ ( $x^2 - a^2 \geqslant 0$ )

Проверяем попадание на отрезок $x \in [0;\, 1]$

Ищем количество корней на отрезке в зависимости от $a$

Строим график $g(t) = t^2 - 2t$ при $t \geqslant -1$

Ключевая идея: сколько значений $x$ даёт каждое значение $t$ ?

Считаем общее число корней по $x$ для каждого $a$