Задание 25: Геометрические задачи повышенной сложности

Находим ключевой треугольник

Пусть высота из $B$ пересекает прямую $AC$ в точке $H$ (угол $\angle AHB = 90^\circ$), а биссектриса угла $A$ пересекает $BH$ в точке $P$, причём $BP:PH = 5:4$. В треугольнике $ABH$ отрезок $AP$ — биссектриса угла $A$, проведённая к стороне $BH$.

Применяем свойство биссектрисы

Биссектриса делит сторону в отношении прилежащих сторон:

В прямоугольном треугольнике $ABH$ катет $AH$ прилежит к углу $A$, а $AB$ — гипотенуза, поэтому $AH = AB\cos A$ и

Находим синус и радиус

По теореме синусов для стороны $BC$, лежащей против угла $A$:

Ответ: $10$.

Находим боковые стороны

Раз в трапецию можно вписать окружность, суммы противоположных сторон равны:

Периметр $200$, значит каждая сумма равна $100$. Трапеция равнобедренная, поэтому $AB = CD = 50$.

Находим высоту

Находим основания

Высота из вершины $B$ отсекает на большем основании отрезок $\dfrac{AD-BC}{2}$. По теореме Пифагора:

Значит $AD - BC = 60$; вместе с $AD + BC = 100$ получаем $AD = 80$, $BC = 20$.

Расстояние до меньшего основания

Диагонали дают подобные треугольники $BOC$ и $DOA$ с коэффициентом $k = \dfrac{BC}{AD} = \dfrac{20}{80} = \dfrac14$. Расстояния от $O$ до оснований относятся так же и в сумме равны $h$:

Ответ: $8$.

Замечаем одну окружность

Точка $M$ — середина $AD$, поэтому $MA = MD$. По условию $M$ равноудалена от всех вершин, значит

Все четыре вершины лежат на окружности с центром $M$ и радиусом $r$. Так как $M$ — середина $AD$, отрезок $AD$ проходит через центр: $AD$ — диаметр, $AD = 2r$.

Переводим углы в дугу

Вершины $B$ и $C$ лежат на той полуокружности с концами $A$ и $D$, дуги которой обозначим $\smile AB = 2\alpha$, $\smile BC = 2\beta$, $\smile CD = 2\gamma$. Вместе они дают полуокружность:

Вписанный угол $\angle B = \angle ABC$ опирается на дугу $ADC$ — это полуокружность $\smile AD = 180^\circ$ плюс дуга $\smile CD = 2\gamma$, поэтому

Точно так же $\angle C = \angle BCD = 90^\circ + \alpha$, откуда $\alpha = 99^\circ - 90^\circ = 9^\circ$. Тогда

и центральный угол $\angle BMC = \smile BC = 2\beta = 90^\circ$.

Находим диаметр

Треугольник $BMC$ имеет $MB = MC = r$ и прямой угол при $M$ — он прямоугольный равнобедренный, значит $BC = r\sqrt{2}$. Тогда

Ответ: $AD = 11\sqrt{2}$.