Из всех сюжетов задания 23 четырёхугольники — самый «конструкторский». Тебе почти никогда не дадут готовый прямоугольный треугольник: его нужно самому достроить внутри параллелограмма, ромба или трапеции. Зато сами фигуры знакомые с 8 класса, и весь фокус в том, чтобы вспомнить их свойства и превратить условие в один прямоугольный треугольник или одну пропорцию.
Здесь мы углубляем именно эту подтему: как работают свойства параллелограмма, ромба и трапеции в задачах на вычисление и какие два-три приёма закрывают почти все задания 23 про четырёхугольники. Общий разбор всего задания 23 (Пифагор, подобие, окружности) — в конспекте типа; тут — только четырёхугольники.
Свойства, на которых всё держится
Площади и среднюю линию тебе выдадут в справочном листе. А вот свойства фигур нужно знать твёрдо — их в листе нет, но именно они превращают задачу в решаемую.
Главный приём: биссектриса + параллельные стороны
Это самый частый ход в задании 23 про четырёхугольники. Как только в условии есть биссектриса угла и пара параллельных сторон — почти наверняка появляется равнобедренный треугольник.
Второй приём — специально для трапеций.
Как решать
Разбор задач из банка
Пример 1. Биссектриса параллелограмма и периметр
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=9, CK=15.
Находим равные углы
Биссектриса делит угол пополам: ∠BAK=∠KAD. Так как AD∥BC, а AK — секущая, накрест лежащие углы равны: ∠KAD=∠AKB. Значит,
∠BAK=∠AKB.
Равнобедренный треугольник
В треугольнике ABK углы при основании AK равны, поэтому он равнобедренный и
AB=BK=9.
Собираем стороны и периметр
Сторона BC=BK+CK=9+15=24. В параллелограмме противоположные стороны равны: CD=AB=9, AD=BC=24. Тогда
P=2(AB+BC)=2(9+24)=66.
Ответ: 66.
Пример 2. Боковая сторона трапеции через высоту
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 45∘ и 150∘, а CD=26.
Высота через сторону CD
Опустим из D перпендикуляр DF на прямую BC; DF=h. Угол BCD=150∘ тупой, поэтому F лежит на продолжении BC, и в прямоугольном треугольнике DCF
∠DCF=180∘−150∘=30∘,h=CD⋅sin30∘=26⋅21=13.
Высота через сторону AB
Опустим из A перпендикуляр AE на прямую BC; AE=h. В прямоугольном треугольнике ABE угол при вершине B равен 45∘, а AB — гипотенуза:
h=AB⋅sin45∘=AB⋅22.
Приравниваем высоты
AB⋅22=13⇒AB=226=132.
Ответ: 132.
Пример 3. Биссектрисы при боковой стороне трапеции
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF=15, BF=8.
Сумма углов при боковой стороне
Углы A и B при боковой стороне AB — односторонние (AD∥BC, секущая AB), поэтому
∠A+∠B=180∘.
Угол между биссектрисами
Лучи AF и BF — биссектрисы, значит ∠FAB=2∠A, ∠FBA=2∠B. В треугольнике ABF
∠AFB=180∘−2∠A+∠B=180∘−90∘=90∘.
Пифагор
Треугольник ABF прямоугольный, AB — гипотенуза:
AB=AF2+BF2=152+82=289=17.
Ответ: 17.
Что запомнить
Четырёхугольник почти всегда сводится к прямоугольному треугольнику — опусти высоту или найди диагональ.
Биссектриса + параллельные стороны → равнобедренный треугольник — этот приём закрывает половину задач про параллелограммы и трапеции.
Площади и среднюю линию выдают в справочном листе, а свойства фигур (равные стороны ромба, углы трапеции) — держи в голове.
Полное решение с обоснованием = 2 балла, а эти 2 балла закрывают геометрический порог отметки.
