Системы уравнений

Содержание

Системы уравнений (Задание 20)
Три приёма топика
Разбор задач из банка
Отработка

Системы уравнений (Задание 20)

Это третий из подвидов задания 20, и узнать его проще всего: перед двумя уравнениями стоит фигурная скобка $\{$ , а неизвестных две — $x$ и $y$ . В конспекте типа мы уже разобрали, что задание 20 берётся уверенно на 2 балла; здесь копаем глубже именно в системы: какие два-три приёма закрывают почти все системы ОГЭ и в каком виде записывать ответ, чтобы балл не срезали.

Главное отличие от уравнений и неравенств: ответ — это не число, а пара чисел $(x;\,y)$ . И почти всегда таких пар несколько, потому что после подстановки вылезает $x=\pm 1$ или $y=\pm 3$ — два значения там, где хочется написать одно.

Систем на ОГЭ в задании 20 три сорта, и под каждый — свой приём:

$y$ выражен в обоих уравнениях (стоит слева или легко переносится) — метод подстановки.
одна переменная стоит с противоположными знаками ( $+y$ и $-y$ ) — метод сложения.
левая часть одного уравнения кратна левой части другого — приём пропорции (самый частый «хитрый» тип).

Три приёма топика

АЛГОРИТМ

Как решать систему

Посмотри на структуру. Слева $y$ в обоих — подстановка; переменная с разными знаками — сложение; левая часть кратна — пропорция.
Убери одну переменную выбранным приёмом — останется одно уравнение с одной буквой.
Реши его. Чаще всего это $x^2 = a$ (тогда $x=\pm\sqrt{a}$ ) или квадратное через дискриминант.
Найди вторую переменную: подставь каждое найденное значение обратно в простое уравнение системы.
Собери пары $(x;\,y)$ — по паре на каждое значение первой переменной.
Проверь хотя бы одну пару подстановкой в оба исходных уравнения.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Типичные потери балла

Забыл второй корень. $x^2=1$ — это $x=1$ и $x=-1$ , а не одно значение. Каждому даёт свою пару.
Записал не пары, а вперемешку. Ответ системы — набор пар $(x;\,y)$ , а не « $x=\ldots,\ y=\ldots$ » отдельными кучками. Держи $x$ и $y$ вместе в скобке.
Один $y$ на два $x$ . Если при обоих $x$ вышло одно и то же $y$ (так бывает, когда $y$ зависит от $x^2$ ), всё равно пиши две пары: $(1;\,2)$ и $(-1;\,2)$ .
Десятичные — через запятую: $2{,}5$ , а не $2.5$ .

Разбор задач из банка

Три примера — по одному на каждый приём: сложение, пропорция, подстановка.

Пример 1. Метод сложения

Решите систему уравнений $\begin{cases}2x^{2}+y=4, \\ 4x^{2}-y=2.\end{cases}$

Пример 2. Приём «кратно»

Решите систему уравнений $\begin{cases}3x^{2}+2y^{2}=45, \\ 9x^{2}+6y^{2}=45x.\end{cases}$

Пример 3. Метод подстановки

Решите систему уравнений $\begin{cases}2x^{2}-5x=y, \\ 2x-5=y.\end{cases}$

СОВЕТ

Стратегия на системах

Сначала выбери приём — не бросайся считать, глянь на структуру. Верный приём экономит половину работы.
Простое уравнение — для поиска $y$ . Подставляй найденный $x$ туда, где выкладок меньше.
Геометрический смысл: пары $(x;\,y)$ — это точки пересечения двух графиков (параболы и прямой). Сколько точек — столько пар.
Порог отметки: задание 20 — алгебра, но помни правило всего ОГЭ: чтобы получить отметку выше «2», нужно набрать не меньше 2 баллов за геометрию (задания 15-19 и 23-25). Одной алгеброй порог не закрыть.

Отработка

Закрепи приёмы на живых задачах банка:

Подборка ровно по этой теме: /math/oge-math/collections/topic-sistemy-uravneniy-20-oge
Все задачи задания 20: /math/oge-math/problems/types/oge-math-type-20

Системы уравнений

Системы уравнений (Задание 20)

Три приёма топика

Разбор задач из банка

Складываем уравнения

Находим x

Находим y

Замечаем связь уравнений

Подставляем готовое число

Находим y

Приравниваем правые части

Приводим к квадратному уравнению

Решаем через дискриминант

Находим y для каждого x

Отработка