Длины сторон

Длины сторон (Задание 18)

Это самый прямолинейный подвид задания 18. Тебе дают фигуру на клетчатой бумаге (клетка $1\times 1$) — прямоугольный треугольник, ромб, параллелограмм — и просят найти длину какого-то отрезка: стороны, катета, диагонали, а иногда — отношение двух отрезков. Никаких площадей и средних линий, только длина.

Внутри задания 18 «длины сторон» стоят особняком, потому что фигуры здесь почти всегда развёрнуты «по сетке»: катеты прямоугольного треугольника и диагонали ромба идут ровно вдоль линий клеток. А значит, в большинстве задач считать вообще ничего не надо — достаточно сосчитать клетки. Формула нужна только там, где спрашивают наклонную сторону или отношение отрезков.

Разберём по порядку три ситуации, которые тебе встретятся: длина вдоль сетки, длина наискосок и отношение отрезков.

Длина вдоль сетки: просто считаем клетки

Если отрезок лежит вдоль линии сетки (горизонтально или вертикально), его длина равна числу клеток, которые он проходит. Клетка $1\times 1$ — это готовая линейка.

Длина наискосок: теорема Пифагора

Если отрезок идёт наклонно (например, сторона ромба или гипотенуза), клетки вдоль него не считаются. Достраиваем прямоугольный треугольник: через один конец проводим горизонталь, через другой — вертикаль. Катеты пойдут по клеткам, а сам отрезок станет гипотенузой.

У ромба это связывает диагонали и сторону: половины диагоналей — как раз катеты, а сторона — гипотенуза. Например, при диагоналях $8$ и $6$ полудиагонали равны $4$ и $3$, значит сторона $a=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$. Этим удобно проверять, что фигура действительно ромб (все четыре стороны равны).

Отношение отрезков: подобие и теорема Фалеса

Иногда просят не длину, а во сколько раз один отрезок больше другого. Когда точка делит наклонный отрезок и лежит на линии сетки, отношение частей равно отношению их горизонтальных (или вертикальных) смещений по клеткам.

Алгоритм решения

Типовые ловушки ОГЭ

Примеры решения задач

Три примера идут от простого к составному: сначала прямой подсчёт по клеткам, потом длина с проверкой стороны Пифагором, в конце — отношение отрезков через подобие.

Пример 1. Больший катет

На клетчатой бумаге с размером клетки $1\times 1$ изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

Пример 2. Большая диагональ ромба

На клетчатой бумаге с размером клетки $1\times 1$ изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

Пример 3. Отношение отрезков

На клетчатой бумаге изображён треугольник $ABC$. Во сколько раз отрезок $AM$ короче отрезка $CM$?

Что запомнить

• Вдоль сетки — считай клетки. Катеты и диагонали ромба специально рисуют по линиям, длина = число клеток.
• Наискосок — Пифагор. Наклонную сторону достраивай до прямоугольного треугольника; теорема Пифагора есть в справочных материалах КИМ.
• Сторона ромба связана с половинами диагоналей через Пифагор — этим же проверяют, что фигура ромб.
• Отношение отрезков на секущей = отношение смещений по клеткам (теорема Фалеса).
• Формат ответа: число без единиц, десятичная дробь через запятую. Геометрию из первой части (15–19) нельзя пропускать — она закрывает порог «≥ 2 балла за геометрию».

Отработка

Закрепи навык на всех задачах типа: задание 18 целиком.

Отточи именно длины сторон: коллекция «Длины сторон».