Диаграммы событий, деревья вероятностей

Диаграммы событий, деревья вероятностей (Задание 10)

Это особый подвид задания 10. Здесь тебе не рассказывают историю про билеты или карандаши — вместо текста дают готовую картинку: либо два пересекающихся овала (диаграмму Эйлера), либо ветвящуюся схему (дерево). Все нужные числа уже расставлены на рисунке, считать «сколько всего исходов» самому почти не приходится. Задача — правильно прочитать картинку и сложить (иногда перемножить) нужные числа.

Поэтому главный навык тут не арифметика, а понимание языка событий: что значит «$A$ и $B$» (пересечение), «$A$ или $B$» (объединение), «не $A$» (противоположное). Разберёмся с обоими типами картинок по очереди.

Диаграммы Эйлера

Диаграмма Эйлера — это прямоугольник (все исходы опыта) и внутри него один-два овала-события. Овалы $A$ и $B$ обычно пересекаются, и прямоугольник разбивается на четыре области. Возле каждой области подписана либо её вероятность, либо число исходов.

Пример 1. Читаем вероятности с диаграммы

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события $B$.

Пример 2. Диаграмма с количеством исходов

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте с равновозможными исходами. В каждой области указано, сколько исходов ей принадлежит: «только $A$» — 18, пересечение — 6, «только $B$» — 12, вне обоих овалов — 24. Найдите вероятность события $\overline{A} \cup B$.

Деревья вероятностей

Дерево появляется, когда опыт идёт в два шага. Из корня $S$ выходят ветки первого шага (гипотезы $A$ и $\overline{A}$), от каждой — ветки второго шага ($B$ и $\overline{B}$). На каждой ветке подписана её вероятность.

Пример 3. Находим вероятность по дереву

На рисунке изображено дерево случайного опыта. Из вершины $S$ выходят ветви к $A$ (вероятность $0{,}75$) и к $\overline{A}$ (вероятность $0{,}25$); от $A$ — ветви к $B$ ($0{,}8$) и $\overline{B}$ ($0{,}2$); от $\overline{A}$ — ветви к $B$ ($0{,}6$) и $\overline{B}$ ($0{,}4$). Найдите вероятность события $B$.

Формат ответа

Что запомнить

• Диаграмма Эйлера: вероятность события = сумма чисел его областей; всего областей — четыре, их сумма = $1$ (или = числу исходов).
• Язык событий: $\cap$ — пересечение («и»), $\cup$ — объединение («или»), $\overline{A}$ — вне овала («не»).
• Дерево: вдоль ветки умножай, разные пути к событию складывай.
• Ни одной из этих формул нет в справочных материалах — правила простые, держи их в голове.

Отработка

Закрепи навык на живом банке задач:

• Все задачи типа: Задание 10 — Статистика, вероятности
• Коллекция топика: topic-diagrammy-derevya-10-oge