В общем конспекте задания 21 ты видел четыре сюжета текстовых задач. Здесь разбираем один из них подробно — движение по прямой дороге. Это самый частый сюжет: машины едут по трассе, поезд обгоняет пешехода, велосипедист катит из города в город и обратно.
Всё держится на одной связке — s=v⋅t. Но внутри этого сюжета есть свои повороты, на которых чаще всего и теряют баллы:
разные скорости у двух участников — кто-то быстрее на столько-то км/ч и приезжает раньше на столько-то часов (получается квадратное уравнение);
относительная скорость — поезд обгоняет пешехода или два тела сближаются; тут скорости складывают или вычитают, а ещё переводят км/ч в м/с;
средняя скорость — весь путь делить на всё время, а не усреднять скорости;
туда и обратно — один и тот же путь с разными скоростями, иногда с остановкой.
Разберём каждый поворот отдельно и потренируемся на реальных задачах банка.
Опорные приёмы этого сюжета
Базовую формулу s=v⋅t ты уже знаешь из конспекта типа. Здесь — то, что нужно именно для прямолинейного движения. Ни одна из этих формул не входит в справочные материалы ОГЭ — держи их в голове. А вот формула корней квадратного уравнения в справочных материалах есть, и она тут постоянно нужна.
Алгоритм
Типовые ловушки
Разбор задач
Три реальные задачи банка: относительная скорость с переводом единиц, разность времён с квадратным уравнением и средняя скорость по участкам.
Пример 1. Поезд мимо пешехода
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 93 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям по платформе со скоростью 3 км/ч, за 24 секунды. Найдите длину поезда в метрах.
Относительная скорость
Поезд и пешеход идут в одну сторону, значит поезд обгоняет пешехода со скоростью-разностью:
vотн=93−3=90км/ч.
Переводим в м/с
Время дано в секундах, длину просят в метрах — переведём скорость в м/с:
90км/ч=90⋅185=25м/с.
Длина поезда
Мимо пешехода поезд проходит ровно свою длину за t=24 с:
L=vотн⋅t=25⋅24=600м.
Ответ: 600.
Пример 2. Разные скорости двух машин
Два автомобиля одновременно отправляются в 480-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.
Вводим неизвестное
Пусть скорость второго автомобиля x км/ч, тогда у первого (x+20) км/ч.
Выражаем время
Дистанция у обоих 480 км:
t2=x480,t1=x+20480.
Составляем уравнение
Первый приехал на 2 часа раньше — его время меньше на 2:
x480−x+20480=2.
Решаем
Умножим на x(x+20):
480(x+20)−480x=2x(x+20),
9600=2x2+40x⟺x2+20x−4800=0.
Дискриминант D=400+19200=19600, D=140:
x=2−20+140=60(кореньx=−80<0отбрасываем).
Возвращаемся к вопросу
Скорость второго 60 км/ч, значит первого — 60+20=80 км/ч.
Проверка: 60480−80480=8−6=2 ч — верно.
Ответ: 80.
Пример 3. Средняя скорость по участкам
Первые 350 км автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч, следующие 105 км — со скоростью 35 км/ч, а последние 160 км — со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Весь путь
S=350+105+160=615км.
Время по участкам
Каждый участок задан длиной, поэтому время находим прямо как vs:
t1=70350=5,t2=35105=3,t3=80160=2 (ч).
t=5+3+2=10ч.
Средняя скорость
vср=tS=10615=61,5км/ч.
Заметь: 61,5 меньше среднего арифметического скоростей — медленные участки перетянули среднюю вниз.
Ответ: 61,5.
Отработка
Разобрал приёмы — закрепи на реальных вариантах банка: