Окружность, описанная вокруг многоугольника

Окружность, описанная вокруг многоугольника (Задание 16)

Это один из четырёх подвидов задания 16. В конспекте типа мы уже собрали все свойства окружности — здесь идём вглубь только одной темы: описанной окружности, то есть той, что проходит через все вершины фигуры.

Отличить этот подвид легко по формулировке: в условии почти всегда есть слова «окружность, описанная около треугольника (четырёхугольника)», или наоборот — «многоугольник, вписанный в окружность». Это одно и то же: если фигуру описали окружностью, то фигура вписана в неё. Все вершины лежат на окружности — и вокруг этого крутится всё решение.

Ключевые факты этого подвида

Почти все задачи решаются одним из трёх приёмов ниже. Узнай на чертеже конфигурацию — и сразу видно, что применять.

Алгоритм решения

Типовые ловушки

Примеры решения задач

Три задачи ниже покрывают три главных приёма: центр на стороне (Пифагор), вписанный четырёхугольник и теорема синусов.

Пример 1. Центр описанной окружности на стороне

Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Радиус окружности равен $6{,}5$. Найдите $AC$, если $BC = 12$.

Пример 2. Вписанный четырёхугольник

Угол $A$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, равен $54^\circ$. Найдите угол $C$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

Пример 3. Радиус через теорему синусов

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $120^\circ$, $AB = 18\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Что запомнить

• Описанная окружность проходит через все вершины; её центр — на пересечении серединных перпендикуляров, равноудалён от вершин.

• Прямоугольник: диагональ $= 2R$. Центр на стороне треугольника: противолежащий угол $= 90^\circ$ (дальше — Пифагор или сумма углов).

• Вписанный четырёхугольник: $\angle A + \angle C = 180^\circ$ (этой формулы в справочном листе нет — учи наизусть).

• Из справочного листа: теорема синусов ($\dfrac{a}{\sin A} = 2R$), теорема Пифагора, формулы правильного треугольника.

Отработка

Прорешай задачи этого подвида в подборке: окружность, описанная около многоугольника.

Все задачи типа сразу: задачи типа 16.

Цель — довести узнавание конфигураций до автоматизма: увидел «центр на стороне» — сразу рисуешь прямой угол; увидел вписанный четырёхугольник — вспоминаешь про $180^\circ$. Тогда этот подвид задания 16 будет приносить стабильный балл меньше чем за минуту.