Задание 21 — одна из задач второй части ОГЭ, где мало написать ответ, нужно показать полное решение с обоснованием. Это текстовая задача: тебе дают жизненный сюжет (фрукты сушат, машина едет, баржа плывёт по реке, два рабочих красят забор), а твоя работа — перевести слова в уравнение, решить его и вернуться к смыслу задачи.
Хорошая новость: почти все сюжеты сводятся к одной и той же схеме. Есть три связанные величины (например, скорость, время и путь), одна из них тебе неизвестна — обозначаешь её буквой, выражаешь через неё остальные и составляешь уравнение. Ниже разберём четыре главных сюжета этого задания:
Проценты, сплавы и смеси — доля вещества в растворе или смеси не меняется, меняется общая масса.
Движение по прямой — связь пути, скорости и времени; коварная «средняя скорость».
Движение по воде — своя скорость лодки складывается со скоростью течения или вычитается.
Совместная работа — два «работника» вместе делают одну и ту же работу.
Опорные формулы
Все формулы этого задания — простые связи между тремя величинами. Учить их наизусть придётся: в справочных материалах ОГЭ их нет (там квадраты, корни квадратного уравнения, ФСУ, прогрессии, геометрия). А вот формула корней квадратного уравнения на листе есть — и она тебе понадобится в задачах на движение по воде.
Алгоритм решения
Схема одна для всех сюжетов — меняется только формула, которая связывает величины.
Разбор задач
Три задачи от простой к составной: доля вещества, средняя скорость и движение по воде с квадратным уравнением.
Пример 1. Проценты: сушка фруктов
Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 23%. Сколько сухих фруктов получится из 341 кг свежих фруктов?
Находим постоянную величину
При сушке испаряется только вода, а масса сухого вещества не меняется. Значит, уравнение надо строить именно на сухом веществе.
Сухое вещество в свежих фруктах
В свежих фруктах воды 86%, поэтому сухого вещества 100%−86%=14%. В 341 кг свежих фруктов его:
341⋅0,14=47,74кг.
Переходим к сухим фруктам
В высушенных фруктах воды 23%, значит сухого вещества 100%−23%=77%. Масса сухого вещества та же — 47,74 кг, но теперь это 77% от искомой массы x:
0,77x=47,74.
Находим массу
x=0,7747,74=62кг.
Ответ: 62.
Пример 2. Средняя скорость
Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 36 км/ч, а вторую — со скоростью 99 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Вводим путь
Длина пути в условии не задана — и ответ от неё не зависит. Возьмём весь путь равным 2s км, тогда каждая половина равна s км.
Считаем время на каждом участке
t1=36sч,t2=99sч.
Складываем время
t=36s+99s=s⋅36⋅9999+36=3564135sч.
Делим весь путь на всё время
vср=t2s=3564135s2s=1352⋅3564=52,8.
Величина s сократилась — ответ и правда не зависит от длины пути. Заметь: 52,8 меньше среднего арифметического 67,5, потому что на медленном участке ушло больше времени.
Ответ: 52,8.
Пример 3. Движение по воде
Баржа прошла по течению реки 32 км и, повернув обратно, прошла ещё 24 км, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
Вводим неизвестное
Пусть собственная скорость баржи равна x км/ч, причём x>5 (иначе против течения не сдвинуться). Тогда по течению скорость x+5, против течения — x−5.
Выражаем время и составляем уравнение
Время по течению — x+532 ч, против течения — x−524 ч. Весь путь занял 4 часа:
x+532+x−524=4.
Избавляемся от дробей
Умножим обе части на (x+5)(x−5)=x2−25:
32(x−5)+24(x+5)=4(x2−25),
32x−160+24x+120=4x2−100,
56x−40=4x2−100.
Решаем квадратное уравнение
Приведём к стандартному виду и разделим на 4:
4x2−56x−60=0⟺x2−14x−15=0.
Дискриминант D=196+60=256, D=16 (формула корней — в справочных материалах):
x1=214+16=15,x2=214−16=−1.
Отбираем корень
Скорость положительна и больше 5, поэтому x=−1 не подходит. Остаётся x=15.
Проверка: 2032+1024=1,6+2,4=4 ч — верно.
Ответ: 15.
Типовые ловушки ОГЭ
Отработка
Разобрал теорию — закрепи на задачах банка. Все реальные варианты задания 21 из ОГЭ: