Правильные многоугольники

Правильные многоугольники (Задание 24)

Внутри задания 24 (доказательства по геометрии) есть особый сюжет — правильные многоугольники: равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник и их «родня». Отличие от остальных подтем задания 24 в том, что здесь у фигуры сразу много равенств: все стороны одинаковые, все углы одинаковые. Это огромная фора для доказательства — из «всё равно всему» почти всегда получается либо равнобедренный треугольник, либо пара равных треугольников, а из них уже вытекает то, что просят доказать.

Второй бонус правильного многоугольника: у него есть центр — одна точка, равноудалённая и от всех вершин, и от всех сторон. Через центр в фигуру вписывается окружность (касается всех сторон), а вокруг описывается окружность (проходит через все вершины). Многие доказательства держатся именно на этом центре и на двух окружностях.

Формулы и приёмы этого топика

Как доказывать

Разбор задач

Задачи ровно про правильные многоугольники в банке ОГЭ встречаются редко, поэтому разберём две родственные задачи задания 24. Приёмы в них те же, что работают и на правильных многоугольниках: «равные стороны $\rightarrow$ равнобедренный треугольник $\rightarrow$ равные углы» и «точка на биссектрисе $\rightarrow$ равноудалена от сторон» (а равноудалённая от всех сторон точка — это и есть центр вписанной окружности правильного многоугольника).

Пример 1. Равные стороны дают равнобедренный треугольник

Сторона $AD$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $AB$. Точка $M$ — середина стороны $AD$. Докажите, что $BM$ — биссектриса угла $ABC$.

Пример 2. Точка на биссектрисе равноудалена от сторон

Биссектрисы углов $B$ и $C$ четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, лежащей на стороне $AD$. Докажите, что точка $O$ равноудалена от прямых $AB$, $BC$ и $CD$.

Что запомнить

• Правильный = равные стороны И равные углы. Одного условия мало (ромб, прямоугольник — не правильные).
• Равные детали. Ищи равные или равнобедренные треугольники — из них вытекает всё остальное.
• Центр и две окружности. Центр равноудалён от вершин ($R$) и от сторон ($r$); радиусы бьют фигуру на $n$ равных равнобедренных треугольников, центральный угол $\dfrac{360^\circ}{n}$.
• Из справочных материалов можно брать сумму углов $180^\circ(n-2)$ и формулы правильного треугольника ($R, r, S, h$) — они выданы на экзамене.
• Ответ — доказательство словами, завершай фразой «Что и требовалось доказать».

Отработка

Реши все задачи этого типа в банке: Задание 24 — задачи на доказательство.

Тренируйся по этой подтеме в коллекции: Правильные многоугольники.