Трапеция

Трапеция (Задание 17)

Трапеция — самый «характерный» сюжет задания 17. Если в задачах про прямоугольник или ромб почти всё решается одной формулой площади, то трапеция любит вопросы про углы, высоту и среднюю линию, и здесь недостаточно подставить числа — надо провести пару лишних линий и увидеть прямоугольный треугольник. Почти всегда в условии стоит слово равнобедренная: у такой трапеции боковые стороны равны, и именно из этого вырастает большинство приёмов.

Формулы средней линии и площади ты уже видел в конспекте по всему заданию 17 — они простые и лежат в справочных материалах. Здесь разберёмся с тем, чего в справочном листе нет: со свойствами равнобедренной трапеции, с углами при параллельных основаниях и с тем, как аккуратно достроить высоту.

Свойства равнобедренной трапеции

Углы: работаем через параллельные основания

Главный инструмент в угловых задачах — то, что основания параллельны ($BC \parallel AD$), а боковая сторона или диагональ служит секущей.

Высота: достраиваем прямоугольный треугольник

Если в условии есть угол, боковая сторона или диагональ, а спрашивают высоту — опусти высоту из вершины меньшего основания на большее. В равнобедренной трапеции две такие высоты отсекают по краям большего основания равные отрезки.

Разбор задач

Три задачи из нашего банка ОГЭ — от угловой к составным на высоту.

Пример 1. Угол между диагональю и основанием

В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $80^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $30^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?

Пример 2. Диагональ под 45° и высота

Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол $45^\circ$. Найдите высоту трапеции, если её основания равны 3 и 8.

Пример 3. Вписанная окружность и высота

Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 34. Найдите высоту этой трапеции.

Типовые ловушки

Отработка

Закрепи тему на задачах банка:

• Коллекция топика: /math/oge-math/collections/topic-trapetsiya-17-oge
• Все задачи типа: /math/oge-math/problems/types/oge-math-type-17

Порешай 6–8 трапеций подряд: рука быстро привыкнет опускать высоту из нужной вершины и видеть накрест лежащие углы при диагонали.