Площади

Площади (Задание 18)

В задании 18 просят найти разное: длину, диагональ, среднюю линию, расстояние. Здесь мы разбираем один конкретный подвид — когда нужна площадь фигуры на клетчатой бумаге (клетка $1\times 1$): треугольника, трапеции, ромба, параллелограмма. Сюда же попадает вопрос «во сколько раз площадь одной фигуры больше площади другой» — чаще всего про два круга.

Чем этот подвид удобен: клетка — готовая линейка, и все размеры, которые нужны для формулы площади (основание, высота, диагонали, радиус), читаются прямо по клеткам. Тебе почти не надо считать длины наклонных сторон — в формулу площади идут не они, а высоты и диагонали, которые обычно лежат вдоль сетки. Ответ здесь почти всегда целое число.

Формулы площади

Все формулы площади из этого задания есть в справочных материалах ФИПИ. Учить их наизусть не обязательно, но надо мгновенно понимать, какую взять и что в неё подставить.

Приём: отношение площадей

Отдельный частый вопрос — не сама площадь, а во сколько раз одна больше другой. Здесь площади не считают до конца: их отношение сводится к отношению линейных размеров.

Радиус не всегда лежит вдоль сетки: если окружность проходит через узел, смещённый и по горизонтали, и по вертикали, радиус находят теоремой Пифагора (например, при смещении на $1$ и $2$ клетки: $r=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5$).

Универсальный запасной приём

Алгоритм

Типовые ловушки

Примеры решения задач

Три задачи от простой к составной: формула ромба, треугольник с «неудобной» вершиной, отношение площадей кругов.

Пример 1. Площадь ромба

На клетчатой бумаге с размером клетки $1\times 1$ изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.

Пример 2. Площадь треугольника

На клетчатой бумаге с размером клетки $1\times 1$ изображён треугольник. Найдите его площадь.

Пример 3. Отношение площадей кругов

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Что запомнить

• Формула по фигуре: треугольник и трапеция — через высоту, ромб — через диагонали, параллелограмм — сторона на высоту, круг — $\pi r^2$. Все они есть в справочных материалах ФИПИ.
• В формулу идут высота и диагонали, а не наклонные стороны — и они обычно лежат вдоль сетки.
• «Во сколько раз» — это квадрат отношения радиусов (или любых линейных размеров), а не само отношение.
• Не вспомнил формулу — разбей фигуру на прямоугольники и треугольники или дострой до прямоугольника.
• Формат ответа: число без единиц, десятичная дробь через запятую. Геометрию первой части (15–19) нельзя пропускать — она закрывает порог «≥ 2 балла за геометрию».

Отработка

Закрепи навык на подборке по теме: Площади (Задание 18).

Больше задач этого типа целиком: все задачи типа 18.