Треугольники общего вида

Треугольники общего вида (Задание 15)

Это подтип задания 15 про треугольник, у которого нет ни прямого угла, ни равных сторон — обычный, «общего вида». Опереться на теорему Пифагора или на равенство углов при основании тут нельзя, поэтому работают другие вещи: элементы треугольника (медиана, биссектриса, высота), средняя линия, площадь и отдельным сюжетом — правильный (равносторонний) треугольник с вписанной и описанной окружностью.

Хорошая новость: почти всё, что нужно, лежит в справочном листе, который выдают на экзамене. Задача обычно решается в одно-два действия — главное узнать элемент на чертеже и вспомнить его определение или формулу.

Элементы треугольника

В общем треугольнике медиана, биссектриса и высота из одной вершины — это три разные линии. Не путай их: в задаче важно, какой именно элемент проведён.

Средняя линия треугольника

Средняя линия соединяет середины двух сторон. Это самый частый гость этого подтипа.

Площадь треугольника общего вида

Когда прямого угла нет, площадь считают через высоту или через угол между сторонами.

Правильный треугольник

Правильный (равносторонний) треугольник — все стороны равны, все углы по $60^\circ$. Для него в справочном листе есть отдельный набор формул, связывающих сторону $a$ с окружностями и высотой.

Алгоритм решения

Примеры решения задач

Три задачи ниже — из нашего банка ОГЭ, от простой к составной.

Пример 1. Медиана

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 54$, $BM$ — медиана, $BM = 43$. Найдите $AM$.

Пример 2. Средняя линия

Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$, сторона $AB$ равна $21$, сторона $BC$ равна $22$, сторона $AC$ равна $28$. Найдите $MN$.

Пример 3. Правильный треугольник и описанная окружность

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $4\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

Что запомнить

• Элементы разные: медиана — в середину стороны, биссектриса — пополам угол, высота — перпендикуляр к стороне.
• Медиана и средняя линия дают половину стороны: $\dfrac{AC}{2}$. Прочие числа в условии обычно лишние.
• Площадь: $\dfrac{1}{2}a h_a$ или $\dfrac{1}{2}ab\sin\gamma$ — обе есть в справочном листе.
• Правильный треугольник: $R=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$, $r=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$, $S=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$, $h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ — всё в справочном листе, $R=2r$.
• Формат: число без единиц, десятичная дробь через запятую.

Отработка

Прорешай задачи этого типа в банке: задание 15.

Задачи именно на этот подтип — в коллекции Треугольники общего вида.