Расстояние между точками и от точки до прямой

Расстояние между точками и от точки до прямой (Задание 18)

Это один из самых частых подвидов задания 18: тебе дают клетчатую бумагу (клетка $1\times 1$) и просят найти расстояние. Расстояние бывает двух видов, и их важно не путать. Первое — расстояние между двумя точками: это просто длина отрезка, который их соединяет. Второе — расстояние от точки до прямой: это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую (самый короткий путь, а не «наискосок»).

В конспекте по всему заданию 18 мы уже разобрали общий принцип: клетка — это готовая линейка. Здесь идём глубже именно в расстояния: как быстро распознавать пифагоровы тройки, когда ответ остаётся под корнем, и что делать, если прямая идёт не по линиям сетки, а наискосок.

Расстояние между двумя точками

Обе точки почти всегда сидят в узлах сетки. Смотри, как они расположены друг относительно друга.

• Точки на одной горизонтали или вертикали — отрезок идёт вдоль сетки. Просто посчитай клетки между ними, и это уже ответ, никакой формулы не нужно.
• Точки «наискосок» — соедини их и дострой до прямоугольного треугольника: через одну точку проведи горизонталь, через другую — вертикаль. Отрезок станет гипотенузой, а катеты пойдут по клеткам.

Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую, а не длина любого наклонного отрезка до неё. Как считать, зависит от того, как расположена прямая.

• Прямая идёт по линии сетки (горизонтальна или вертикальна). Тогда перпендикуляр к ней тоже пойдёт по сетке — просто посчитай клетки от точки до прямой.
• Прямая идёт наискосок. Перпендикуляр по клеткам уже не посчитать. Здесь выручает приём через площадь: строим треугольник, у которого прямая — основание, а искомый перпендикуляр — высота.

Алгоритм

Типовые ловушки

Примеры решения задач

Три задачи от простой к составной: сначала диагональ через тройку, потом ещё одна тройка, в конце — случай, где Пифагор вообще не нужен.

Пример 1. Расстояние между точками

На клетчатой бумаге с размером клетки $1\times 1$ изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Пример 2. Расстояние между точками

На клетчатой бумаге с размером клетки $1\times 1$ изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Пример 3. Отрезок вдоль сетки

На клетчатой бумаге с размером клетки $1\times 1$ изображена фигура. Найдите длину отрезка $AB$ по данным чертежа.

Что запомнить

• Расстояние между точками: вдоль сетки — считай клетки; наискосок — достраивай прямоугольный треугольник и находи гипотенузу Пифагором.
• Расстояние от точки до прямой — это перпендикуляр. По линии сетки — считай клетки; наклонная прямая — через площадь: $h=\dfrac{2S}{a}$.
• Теорема Пифагора есть в справочных материалах КИМ; формулы координат — нет, но она из Пифагора выводится.
• Пифагоровы тройки ($3{-}4{-}5$, $6{-}8{-}10$, $5{-}12{-}13$) дают ответ мгновенно.
• Формат ответа: число без единиц, десятичная дробь через запятую. Геометрию первой части (15–19) нельзя пропускать — она закрывает порог «≥ 2 балла за геометрию».

Отработка

Закрепи навык на всех задачах этого типа: задание 18 на квадратной решётке.

Прицельно по этой подтеме: Расстояние между точками и от точки до прямой.