Внутри задания 16 это самая частая и самая «алгоритмичная» подтема. Тебе дают окружность, на ней отмечены точки, проведены хорды или диаметры — и просят найти какой-то угол в градусах. Отдельных вычислений тут почти нет: всё решается связкой двух-трёх фактов про углы, опирающиеся на одну дугу. Научишься быстро узнавать эти конфигурации — и задание 16 станет для тебя гарантированной минутной задачей.
В конспекте типа мы уже собрали общую картину задания 16. Здесь идём вглубь только по углам: разберём, как центральный угол связан с вписанным, почему вписанные углы на одну дугу равны, что даёт вписанный четырёхугольник, — и прогоним это на реальных задачах банка.
Главная связка: центральный и вписанный
У обоих углов вершины разные, но «смотрят» они на одну и ту же дугу.
Центральный угол — вершина в центре O, стороны — два радиуса.
Вписанный угол — вершина на самой окружности, стороны — две хорды.
Три следствия, которыми решается почти всё
Алгоритм
Типовые ловушки
Разбор задач из банка
Три задачи от простой к составной: равные вписанные углы, вписанный четырёхугольник и связка «центральный — вписанный» через равнобедренный треугольник.
Пример 1. Углы на одну дугу
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 25∘, угол CAD равен 41∘. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Разбиваем искомый угол
Диагональ BD проходит внутри угла ABC и делит его на две части:
∠ABC=∠ABD+∠DBC.
Находим второе слагаемое через равные углы
Вписанные углы ∠DBC и ∠DAC опираются на одну и ту же дугу DC (точки A и B по одну сторону от хорды DC), значит они равны:
∠DBC=∠DAC=41∘.
Складываем
∠ABC=25∘+41∘=66∘.
Ответ
Ответ: 66.
Пример 2. Вписанный четырёхугольник
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 92∘, угол CAD равен 60∘. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Используем сумму противоположных углов
Четырёхугольник вписан в окружность, поэтому противоположные углы в сумме дают 180∘:
∠ADC=180∘−∠ABC=180∘−92∘=88∘.
Досчитываем угол в треугольнике
В треугольнике ACD известны два угла: ∠CAD=60∘ и ∠ADC=88∘, поэтому
∠ACD=180∘−60∘−88∘=32∘.
Переносим на искомый угол
Вписанные углы ∠ABD и ∠ACD опираются на одну дугу AD (точки B и C по одну сторону от хорды AD), значит равны:
∠ABD=∠ACD=32∘.
Ответ
Ответ: 32.
Пример 3. Диаметры и равнобедренный треугольник
В окружности с центром в точке O отрезки AC и BD — диаметры. Угол AOD равен 114∘. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Смежный угол через диаметр
Точки B, O, D лежат на одной прямой (это диаметр BD), поэтому углы AOD и AOB смежные:
∠AOB=180∘−∠AOD=180∘−114∘=66∘.
От центрального к вписанному
∠AOB — центральный угол на дугу AB, а ∠ACB — вписанный угол на ту же дугу. По теореме о вписанном угле он вдвое меньше:
∠ACB=21∠AOB=266∘=33∘.
Ответ
Ответ: 33.
Что запомнить
Ядро темы: вписанный угол = половина центрального на ту же дугу.
Равные углы: все вписанные углы на одну дугу равны между собой.
Диаметр: вписанный угол на диаметр =90∘; концы диаметра с центром лежат на прямой (смежные, вертикальные углы).
Доведи узнавание конфигураций до автоматизма: увидел два вписанных угла на одну дугу — они равны; увидел диаметр — ищи прямой угол; дан вписанный четырёхугольник — вспомни про 180∘. Тогда угол в окружности ты будешь находить за одно-два действия.
