Окружности

Окружности (Задание 23)

В конспекте по всему заданию 23 мы прошлись по четырём сюжетам — треугольники, четырёхугольники, углы и окружности. Здесь разберём окружности подробно: это тот сюжет, где условие выглядит непривычно («хорда», «касается луча», «окружность с диаметром $BH$»), а решение почти всегда сводится к обычному прямоугольному треугольнику.

Главная мысль темы простая. Сама по себе окружность — кривая линия, считать по ней нечего. Поэтому в любой задаче ты достраиваешь отрезки, которые превращают окружность в прямые линии: радиус, перпендикуляр из центра, диаметр. Каждый такой отрезок приносит прямой угол или равенство длин — и дальше работает обычная планиметрия.

Всего рабочих приёмов четыре:

• Перпендикуляр из центра к хорде — делит хорду пополам и даёт прямоугольный треугольник с гипотенузой $R$.
• Радиус в точку касания — перпендикулярен касательной, снова прямой угол.
• Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$ — прямой угол «из воздуха».
• Касательная и секущая из одной точки — $AT^2 = AM \cdot AN$, приём для самых сложных вариантов.

Приём 1. Перпендикуляр из центра к хорде

Хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности. Если опустить на неё перпендикуляр из центра, получится равнобедренный треугольник $OAB$ (обе боковые стороны — радиусы), а перпендикуляр в равнобедренном треугольнике из вершины к основанию — ещё и медиана. Отсюда главный факт.

Приём 2. Радиус в точку касания

Касательная — прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку. Слово «касается» в условии — это готовый прямой угол, надо только провести радиус.

Приём 3. Вписанный угол и диаметр

Второе следствие работает и в обратную сторону: если из точки $P$ отрезок $BH$ виден под прямым углом, то $P$ лежит на окружности с диаметром $BH$. Именно так в условии появляется странная на первый взгляд фраза «окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны в точках $P$ и $K$»: на самом деле это способ сказать «из точек $P$ и $K$ опущены перпендикуляры».

Приём 4. Касательная и секущая

Этот приём встречается реже и в самых трудных вариантах задания 23, но без него такие задачи не решаются вовсе.

Как решать

Разбор задач из банка

Пример 1. Две хорды одной окружности

Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды $CD$, если $AB = 30$, $CD = 40$, а расстояние от центра окружности до хорды $AB$ равно $20$.

Пример 2. Центр окружности на стороне треугольника

Окружность с центром на стороне $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B$. Найдите диаметр окружности, если $AB = 9$, $AC = 12$.

Пример 3. Окружность, построенная на высоте как на диаметре

Точка $H$ является основанием высоты $BH$, проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC$. Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите $BH$, если $PK = 12$.

Пример 4. Касательная и секущая (повышенный уровень)

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно 9 и 32 от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, если $\cos \angle BAC = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$.

Что запомнить

• Окружность считать нельзя — считай отрезки: радиус, перпендикуляр из центра, диаметр.
• Хорда $\to$ перпендикуляр из центра делит её пополам $\to$ прямоугольный треугольник с гипотенузой $R$: $R^2 = d^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2$.
• Слово «касается» $\to$ радиус в точку касания перпендикулярен касательной; отрезки касательных из одной точки равны.
• Диаметр $\to$ вписанный угол, опирающийся на него, равен $90^\circ$.
• Точка вне окружности с касательной и секущей $\to$ $AT^2 = AM \cdot AN$.
• Свойств хорд, касательных и вписанных углов в справочном листе нет — из «окружного» там только $C = 2\pi R$, $S = \pi R^2$ и радиусы для правильного треугольника; остальное держи в голове.

Отработка

Прорешай задачи этого типа в банке: Задание 23 — геометрические задачи на вычисление.

Подборка именно по окружностям — коллекция «Окружности».