Равнобедренные треугольники

Равнобедренные треугольники (Задание 15)

Это подвид задания 15, где на чертеже — треугольник с двумя равными сторонами. Узнать его легко: одинаковые штрихи на боковых сторонах, или прямо в условии написано «$AB=BC$», или сказано «равносторонний» (это когда равны все три стороны). Как только ты понял, что треугольник равнобедренный, у тебя сразу появляется бесплатное дополнительное знание — равные углы при основании и совпадение высоты, медианы и биссектрисы. Именно на этом и строятся все задачи топика.

Чаще всего просят одно из двух: найти угол (дан угол при вершине или при основании — ищут другой) или найти длину (в равностороннем треугольнике по стороне ищут высоту/медиану/биссектрису, или наоборот). Считать почти всегда — в одно-два действия.

Углы равнобедренного треугольника

Дальше в дело идёт сумма углов треугольника ($180^\circ$). Комбинируя её с равенством углов при основании, ты найдёшь любой недостающий угол:

• дан угол при вершине $\beta$ — тогда каждый угол при основании равен $\dfrac{180^\circ-\beta}{2}$;
• дан угол при основании $\alpha$ — тогда второй угол при основании тоже $\alpha$, а угол при вершине равен $180^\circ-2\alpha$.

Равносторонний треугольник

Равносторонний (его же называют правильным) — частный случай равнобедренного, где равны все три стороны. Значит, и все три угла равны, а раз в сумме они дают $180^\circ$, то каждый равен $60^\circ$.

Его любят в задании 15, потому что по одной стороне $a$ считается всё остальное.

Алгоритм решения

Примеры решения задач

Три задачи ниже — из нашего банка ОГЭ, от простого угла к равностороннему треугольнику.

Пример 1. Угол при основании

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=BC$, $\angle ABC=108^\circ$. Найдите угол $BCA$. Ответ дайте в градусах.

Пример 2. Биссектриса равностороннего треугольника

Сторона равностороннего треугольника равна $10\sqrt{3}$. Найдите биссектрису этого треугольника.

Пример 3. Радиус вписанной окружности

Сторона равностороннего треугольника равна $20\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Что запомнить

• Равнобедренный — две боковые стороны равны, углы при основании равны. Дан угол при вершине $\beta$ — угол при основании $\dfrac{180^\circ-\beta}{2}$; дан угол при основании $\alpha$ — угол при вершине $180^\circ-2\alpha$.
• Высота = медиана = биссектриса для линии из вершины между равными сторонами (в равностороннем — из любой вершины).
• Равносторонний: все стороны равны, все углы $60^\circ$; $h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$, $r=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$, $R=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$, $S=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$ — все в справочном листе.
• Формат: число без единиц; $\sqrt{3}$ в таких задачах обычно сокращается — ответ целый.

Отработка

Прорешай все задачи этого типа в банке: задание 15.

Именно этот подвид — в коллекции: Равнобедренные треугольники.