Поиск

Прямоугольный треугольник

Содержание

Прямоугольный треугольник (Задание 15)

Прямоугольный треугольник — самый частый гость задания 15. Общий обзор задания и остальные его подтемы (углы, равнобедренный, общий треугольник) разобраны в конспекте задания 15; здесь копаем именно этот подвид глубже.

Отличие простое: как только на чертеже есть прямой угол (квадратик в вершине), включаются два мощных инструмента, которых у обычного треугольника нет, — теорема Пифагора и тригонометрия острого угла (sin⁡\sin, cos⁡\cos, tg⁡\tg). Почти все задачи топика — это одна из двух ситуаций: «даны два катета/сторона — найди sin⁡\sin/cos⁡\cos/tg⁡\tg» или наоборот «дано отношение и одна сторона — найди другую сторону». Разберёмся, как не путаться.

Прямоугольный треугольник: катеты, гипотенуза, острый угол

Тригонометрия острого угла

Три отношения задают всю тригонометрию прямоугольного треугольника. Смотреть надо всегда от того угла, про который спрашивают.

Теорема Пифагора

Радиус описанной окружности

Отдельный, любимый на ОГЭ факт именно про прямоугольный треугольник.

Алгоритм решения

Примеры решения задач

Три задачи ниже — из нашего банка ОГЭ, от простой к составной.

Пример 1. Сторона по синусу угла

В треугольнике ABCABC угол CC равен 90∘90^\circ, sin⁡B=517\sin B=\dfrac{5}{17}, AB=51AB=51. Найдите ACAC.

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C
Пример 2. Второй катет по теореме Пифагора

В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 4040 и 4141 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

Пример 3. Радиус описанной окружности

В треугольнике ABCABC известно, что AC=16AC=16, BC=12BC=12, угол CC равен 90∘90^\circ. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C

Что запомнить

  • Тригонометрия: sin⁡\sin и cos⁡\cos делят катет на гипотенузу, tg⁡\tg — катет на катет. Всегда смотри от нужного угла: противолежащий и прилежащий катеты для AA и BB разные.

  • Обратный ход: если дано отношение и одна сторона — выражай нужную сторону из определения (AC=AB⋅sin⁡BAC = AB\cdot\sin B и т. п.).

  • Пифагор: a2+b2=c2a^2+b^2=c^2; узнавай тройки 3−4−53{-}4{-}5, 5−12−135{-}12{-}13, 8−15−178{-}15{-}17, 9−40−419{-}40{-}41.

  • Описанная окружность: её центр — середина гипотенузы, R=c2R=\dfrac{c}{2}; медиана к гипотенузе тоже равна её половине.

  • Формат: число без единиц, десятичная дробь через запятую; tg⁡\tg острого угла может быть больше 11.

Отработка

Прорешай все задачи этого типа в банке: задание 15.

Задачи именно на прямоугольный треугольник — в коллекции топика: Прямоугольный треугольник.