Уравнения

Выписываем ОДЗ

Под корнем должно быть неотрицательное число:

Сокращаем одинаковое слагаемое

Слева и справа стоит одно и то же $\sqrt{3-x}$, и на ОДЗ оно определено — вычтем его из обеих частей:

Решаем квадратное уравнение

Отбираем корни по ОДЗ

Условие $x \leqslant 3$: корень $x=4$ не подходит (при нём под корнем $3-4=-1<0$) — посторонний. Корень $x=-2$ подходит.

Проверка при $x=-2$: слева $4 + 4 + \sqrt{5} = 8 + \sqrt{5}$, справа $\sqrt{5} + 8$ — равно.

Ответ: $-2$.

Выписываем ОДЗ

Знаменатель не равен нулю: $x - 1 \ne 0$, то есть $x \ne 1$.

Делаем замену

Обозначим $t = \dfrac{1}{x-1}$. Тогда $\dfrac{1}{(x-1)^2} = t^2$, и уравнение становится квадратным:

Решаем относительно t

По теореме Виета ($t_1 + t_2 = -2$, $t_1 t_2 = -3$) или через $D = 4 + 12 = 16$:

Возвращаемся к x

• $\dfrac{1}{x-1} = 1 \Rightarrow x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2;$
• $\dfrac{1}{x-1} = -3 \Rightarrow x - 1 = -\dfrac{1}{3} \Rightarrow x = \dfrac{2}{3}.$

Оба значения удовлетворяют ОДЗ ($x \ne 1$).

Ответ: $\dfrac{2}{3};\ 2$.

Переходим к системе

Сумма двух квадратов равна нулю только если оба выражения равны нулю одновременно:

Решаем первое уравнение

По разности квадратов $x^2 - 25 = (x-5)(x+5) = 0$:

Решаем второе уравнение

$x^{2} + 3x - 10 = 0$. По Виета корни в сумме дают $-3$, в произведении $-10$:

Ищем общий корень

Подходит только то значение, что обращает в ноль оба выражения. Общий корень обеих строк — $x = -5$.

Проверка при $x=-5$: $x^2-25 = 25-25 = 0$ и $x^2+3x-10 = 25-15-10 = 0$, тогда $0^2 + 0^2 = 0$ — верно.

Ответ: $-5$.