Треугольники

Скрытый равнобедренный треугольник

Пусть $BE$ и $AD$ пересекаются в точке $P$. Так как $D$ лежит на $BC$, луч $BD$ — это луч $BC$, поэтому $\angle ABD = \angle ABC$, и биссектриса $BE$ делит угол $ABD$ пополам: отрезок $BP$ — биссектриса угла $B$ в треугольнике $ABD$. Но $BP \perp AD$, то есть $BP$ ещё и высота. Биссектриса, совпадающая с высотой, бывает только в равнобедренном треугольнике, значит

Поскольку $D$ — середина $BC$, то $BD = \tfrac12 BC$, откуда $BC = 2\,AB$.

Находим $BP$ через средние линии

Проведём $DF \parallel BE$, где $F$ на $AC$. В треугольнике $BEC$ точка $D$ — середина $BC$, поэтому $DF$ — средняя линия: $DF = \tfrac12 BE = 20$. В треугольнике $ADF$ точка $P$ — середина $AD$, а $PE \parallel DF$, поэтому $PE = \tfrac12 DF = 10$. Тогда

Стороны $AB$ и $BC$

В прямоугольном треугольнике $APB$ ($\angle APB = 90^\circ$) по теореме Пифагора:

Сторона $AC$

По формуле длины медианы $AD$ к стороне $BC$:

Подставим $AD=40$, $AB^2=1300$, $BC^2=5200$:

Ответ: $AB = 10\sqrt{13}$, $BC = 20\sqrt{13}$, $AC = 30\sqrt{5}$.

Угол между радиусом $AO$ и стороной

Центральный угол $\angle AOC$ опирается на ту же дугу $AC$, что и вписанный угол $\angle B$, поэтому $\angle AOC = 2\angle B$. Треугольник $AOC$ равнобедренный ($OA=OC=R$), значит

Точно так же $\angle OAB = 90^\circ - \angle C$.

Проектируем $B$ и $D$ на прямую $AO$

Так как $BD \perp AO$, точки $B$ и $D$ проектируются на прямую $AO$ в одну точку $M$. Из прямоугольных треугольников $ABM$ и $ADM$:

Приравняем: $AD\sin\angle B = AB\sin\angle C$, откуда $AD = AB\cdot\dfrac{\sin\angle C}{\sin\angle B}$.

Убираем синусы теоремой синусов

По теореме синусов $\dfrac{AB}{\sin\angle C} = \dfrac{AC}{\sin\angle B}$, поэтому $\dfrac{\sin\angle C}{\sin\angle B} = \dfrac{AB}{AC}$. Тогда

Точка $D$ лежит на стороне $AC$ ($AD=9<25$), поэтому

Ответ: $16$.