Окружность, вписанная в многоугольник

Окружность, вписанная в многоугольник (Задание 16)

Это один из подвидов задания 16 — того самого, где на чертеже окружность и надо найти длину, радиус или площадь. Здесь окружность лежит внутри фигуры и касается всех её сторон. Ключевое отличие от «описанной» окружности: вписанная трогает стороны, а не проходит через вершины. Поэтому и работают тут другие факты — не про углы на дугу, а про касание сторон и про то, где сидит центр.

Хорошая новость: почти все задачи этого подвида сводятся к 3-4 конфигурациям — треугольник, квадрат, ромб и «описанный четырёхугольник». Узнал конфигурацию — вспомнил один факт — посчитал. Разберём каждую.

Треугольник: площадь через радиус

Самая частая формула этого подвида связывает площадь треугольника с радиусом вписанной окружности и полупериметром (половиной периметра).

Почему так: соедини центр $O$ с вершинами — треугольник разобьётся на три маленьких, у каждого высота равна $r$ (радиус до стороны). Сложив их площади, получишь $S = \tfrac12 a r + \tfrac12 b r + \tfrac12 c r = \tfrac12 (a+b+c)\,r = p\,r$.

Четырёхугольник, описанный около окружности

Если окружность вписана в четырёхугольник (то есть четырёхугольник описан около неё), работает красивое равенство сумм противоположных сторон.

Это свойство в справочных материалах КИМ не приводится — запоминай.

Квадрат и правильный треугольник

Алгоритм решения

Типовые ловушки

Примеры решения задач

Пример 1. Треугольник: площадь через радиус

Периметр треугольника равен $56$, одна из сторон равна $19$, а радиус вписанной в него окружности равен $5$. Найдите площадь этого треугольника.

Пример 2. Описанный четырёхугольник

Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB = 6$, $BC = 8$, $CD = 11$. Найдите $AD$.

Пример 3. Окружность, вписанная в ромб

Диагональ $AC$ ромба $ABCD$ равна $8$, а $\tg\angle BCA = 0{,}75$. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Что запомнить

• Центр вписанной окружности — пересечение биссектрис, равноудалён от сторон; радиус в точку касания $\perp$ стороне.
• Треугольник: $S = p\cdot r$ (полупериметр!) — этой формулы в справочном листе нет.
• Описанный четырёхугольник: $AB + CD = BC + AD$ — тоже учить наизусть.
• Квадрат: $a = 2r$. Ромб и общий случай: опусти радиус в точку касания и работай прямоугольным треугольником (теорема Пифагора и площади фигур — в справочном листе есть).

Отработка

Прорешай все задачи этого типа в банке: задачи типа 16.

Целевая подборка именно по вписанной окружности: Окружность, вписанная в многоугольник.

Цель — довести до автоматизма выбор факта: увидел треугольник с радиусом — вспомнил $S = p\cdot r$; увидел четырёхугольник вокруг окружности — сложил противоположные стороны; увидел ромб — опустил радиус в точку касания. Тогда этот балл будет твоим за минуту.