Задание 22: Функции и их свойства. Графики функций

Строим параболу без модуля

Нули: $x^2-4x+3=0\Rightarrow (x-1)(x-3)=0$, то есть $x_1=1$, $x_2=3$. Вершина: $x_0=\dfrac{4}{2}=2$, $y_0=2^2-4\cdot 2+3=-1$. Ветви вверх, значит на промежутке $(1;3)$ парабола ниже оси $Ox$.

Переходим к модулю

Часть графика ниже оси отражаем вверх. Появляется «горб» на отрезке $[1;3]$ с вершиной $(2;\,1)$ (ведь $|-1|=1$) и нулями $x=1$, $x=3$.

Считаем пересечения с прямой $y=c$

Число общих точек — число корней уравнения $|x^2-4x+3|=c$:

• $c<0$ — точек нет;

• $c=0$ — $2$ точки;

• $0<c<1$ — $2$ точки на внешних ветвях и ещё $2$ на «горбе», итого 4;

• $c=1$ — $2$ точки на ветвях и вершина горба, итого $3$;

• $c>1$ — $2$ точки.

Больше четырёх быть не может: каждое из уравнений $x^2-4x+3=\pm c$ квадратное и даёт не более двух корней. Наибольшее число достигается, например, при $c=0{,}5$.

Ответ: $4$.

Упрощаем формулу

Разложим знаменатель: $x^2-5x=x(x-5)$. Тогда

Сокращать на $(x-5)$ можно при $x\ne 5$, а дробь определена при $x\ne 0$. Значит, $x\ne 0$ и $x\ne 5$, и

Строим график

Это гипербола $y=2-\dfrac{1}{x}$ с асимптотами $x=0$ и $y=2$. Точка при $x=5$ выколота, её ордината $y=2-\dfrac{1}{5}=1{,}8$, то есть выколота точка $(5;\,1{,}8)$.

Ищем прямые без общих точек

Уравнение $2-\dfrac{1}{x}=m$ даёт $\dfrac{1}{x}=2-m$.

• $m=2$: получаем $\dfrac{1}{x}=0$ — решений нет (это горизонтальная асимптота). Общих точек нет.

• $m=1{,}8$: единственный кандидат $x=\dfrac{1}{2-m}=5$ выколот. Общих точек нет.

При остальных $m$ прямая пересекает график ровно в одной точке.

Ответ: $m=1{,}8;\ m=2$.

Раскрываем модуль

При $x\geqslant 0$: $|x|=x$, поэтому $y=x^2-x-3x=x^2-4x$ — парабола ветвями вверх, вершина $(2;-4)$, нули $x=0$ и $x=4$. При $x<0$: $|x|=-x$, поэтому $y=-x^2+x-3x=-x^2-2x$ — парабола ветвями вниз, вершина $(-1;1)$, нули $x=0$ и $x=-2$. В точке $x=0$ обе формулы дают $y=0$ — график непрерывен.

Считаем корни на каждом куске

Левая часть ($x<0$): при $0<m<1$ — два корня, при $m=1$ — один (вершина), при $m\leqslant 0$ — один, при $m>1$ — ни одного. Правая часть ($x\geqslant 0$): при $-4<m\leqslant 0$ — два корня, при $m=-4$ — один (вершина), при $m>0$ — один, при $m<-4$ — ни одного.

Складываем и отбираем «ровно две»

Ровно две общие точки — когда прямая проходит через вершину одной из дуг: $m=1$ (вершина левой параболы) и $m=-4$ (вершина правой).

Ответ: $m=-4;\ m=1$.