Треугольники

Треугольники (Задание 23)

В конспекте по всему заданию 23 мы разобрали четыре сюжета — треугольники, четырёхугольники, углы и окружности. Здесь копнём именно треугольники: это самая частая фигура задания 23, и почти любая «треугольная» задача держится на одном из трёх приёмов.

• Прямоугольный треугольник — теорема Пифагора и метрические соотношения с высотой к гипотенузе.
• Подобие по двум углам — когда в чертёж встроены два треугольника с одинаковыми углами.
• Теорема синусов — связь стороны, противолежащего угла и радиуса описанной окружности.

Первое, что делаешь в любой такой задаче, — ищешь в чертеже прямой угол или пару равных углов. Прямой угол ведёт к Пифагору и метрическим соотношениям, равные углы — к подобию, а описанная окружность и известный угол — к теореме синусов. Разберём каждый приём отдельно.

Приём 1. Прямоугольный треугольник

Теорему Пифагора ты уже знаешь: $c^2 = a^2 + b^2$, где $c$ — гипотенуза. Она есть в справочных материалах КИМ, но держи её в голове — без неё не обходится половина задач. Гораздо интереснее то, чего в справочном листе нет: что происходит, когда из вершины прямого угла опущена высота на гипотенузу.

Приём 2. Подобие по двум углам

Если у двух треугольников равны два угла, они подобны: сходственные стороны пропорциональны с одним коэффициентом $k$. Признаков подобия в справочном листе нет — учи наизусть.

Приём 3. Теорема синусов и описанная окружность

Когда в условии есть радиус описанной окружности и угол (или, наоборот, сторона и радиус), связь между ними даёт теорема синусов.

Как решать

Разбор задач из банка

Пример 1. Высота из прямого угла к гипотенузе

Точка $H$ является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла $B$ треугольника $ABC$ к гипотенузе $AC$. Найдите $AB$, если $AH=5$, $AC=20$.

Пример 2. Сторона через теорему синусов

Углы $B$ и $C$ треугольника $ABC$ равны соответственно $71^\circ$ и $79^\circ$. Найдите $BC$, если радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен 8.

Пример 3. Биссектриса, высота и радиус

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B$, в отношении $5:3$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если $BC=8$.

Что запомнить

• Прямой угол и высота к гипотенузе $\to$ метрические соотношения $AB^2=AH\cdot AC$ (в справочном листе их нет).
• Два равных угла (параллельность, окружность) $\to$ подобие, сходственные стороны против равных углов.
• Угол и радиус описанной окружности $\to$ теорема синусов $a=2R\sin A$ (есть в справочном листе).
• Полное решение с обоснованием = 2 балла, и эти 2 балла закрывают геометрический порог отметки.

Отработка

Прорешай задачи этого типа в банке: Задание 23 — геометрические задачи на вычисление.

Подборка именно по треугольникам — коллекция «Треугольники».