В конспекте по всему заданию 21 ты видел четыре сюжета: проценты, движение по прямой, движение по воде и совместную работу. Здесь разберём последний подробно — потому что у него внутри прячутся два разных типа задач, и их легко перепутать.
Первый тип — классический «работают вместе»: два насоса качают в один бак, два комбайна убирают одно поле, двое красят один забор. Тут производительности складываются. Второй тип — «кто быстрее» — как раз тот, что чаще всего встречается в реальных вариантах ОГЭ: две трубы или два рабочих делают одинаковый объём, но с разной скоростью, и известна разница во времени. Такая задача приводит к дробно-рациональному, а значит и к квадратному уравнению. Именно на нём мы и сосредоточимся.
Опорные формулы и модель
Все формулы этого подвида надо знать наизусть: в справочных материалах ОГЭ их нет (там квадраты, ФСУ, прогрессии, геометрия). А вот формула корней квадратного уравнения на выданном листе есть — и она тебе понадобится почти в каждой задаче на «кто быстрее».
Алгоритм решения
Схема для задач «кто быстрее» (труба/рабочий) — самого частого варианта в ОГЭ.
Типовые ловушки ОГЭ
Разбор задач
Три задачи из банка: труба, рабочий и труба с проверкой «о ком спрашивают».
Пример 1. Две трубы: разница во времени
Первая труба пропускает на 16 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 105 литров она заполняет на 4 минуты дольше, чем вторая труба?
Обозначаем производительность
Пусть первая труба пропускает x л/мин (x>0). Тогда вторая — x+16 л/мин.
Записываем время
Резервуар 105 л: первая наполняет за x105 мин, вторая — за x+16105 мин.
Составляем уравнение
Первая труба медленнее, её время на 4 минуты больше:
x105−x+16105=4.
Избавляемся от дробей
Умножим обе части на x(x+16):
105(x+16)−105x=4x(x+16),
105⋅16=4x2+64x,1680=4x2+64x.
Разделим на 4:
x2+16x−420=0.
Решаем квадратное уравнение
D=162+4⋅420=256+1680=1936=442 (формула корней — в справочных материалах):
x=2−16±44⇒x1=14,x2=−30.
Отбираем корень
Производительность положительна, поэтому x=−30 не подходит. Остаётся x=14. Спрашивают именно про первую трубу — то, что мы и обозначили.
Проверка: 14105=7,5 мин и 30105=3,5 мин, разница 7,5−3,5=4 мин — верно.
Ответ: 14.
Пример 2. Два рабочих
Первый рабочий за час делает на 9 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 216 деталей, на 4 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
Обозначаем производительность
Спрашивают про второго — его и обозначим. Пусть второй делает x дет/ч (x>0). Тогда первый — x+9 дет/ч.
Записываем время
Заказ 216 деталей: второй тратит x216 ч, первый — x+9216 ч.
Составляем уравнение
Первый быстрее на 4 часа, значит время второго больше:
x216−x+9216=4.
Избавляемся от дробей
Умножим на x(x+9):
216(x+9)−216x=4x(x+9),
1944=4x2+36x,x2+9x−486=0.
Решаем квадратное уравнение
D=92+4⋅486=81+1944=2025=452:
x=2−9±45⇒x1=18,x2=−27.
Отбираем корень
x=−27 отбрасываем — производительность положительна. Остаётся x=18 — это и есть производительность второго рабочего, о котором спрашивали.
Проверка: второй 216:18=12 ч; первый (27 дет/ч) 216:27=8 ч; разница 12−8=4 ч — верно.
Ответ: 18.
Пример 3. Труба: следи, о ком спрашивают
Первая труба пропускает на 9 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 112 литров она заполняет на 4 минуты быстрее, чем первая труба?
Обозначаем производительность
Спрашивают про вторую трубу — её и возьмём за x (x>0). Тогда первая — x−9 л/мин, причём x>9.
Записываем время
Резервуар 112 л: вторая — x112 мин, первая — x−9112 мин.
Составляем уравнение
Первая медленнее, её время на 4 минуты больше:
x−9112−x112=4.
Избавляемся от дробей
Приведём к общему знаменателю x(x−9):
x(x−9)112⋅9=4,x2−9x1008=4,
x2−9x−252=0.
Решаем квадратное уравнение
D=81+4⋅252=81+1008=1089=332:
x=29±33⇒x1=21,x2=−12.
Отбираем корень
x=−12 не подходит (и меньше 9, и отрицателен). Остаётся x=21 — производительность второй трубы.
Проверка: вторая 21112=316 мин, первая (12 л/мин) 12112=328 мин; разница 328−316=4 мин — верно.