Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия (Задание 14)

В конспекте типа ты уже разобрался, чем арифметическая прогрессия отличается от геометрической: здесь соседние члены отличаются на одинаковое число — разность $d$. Теперь копнём глубже именно в этот подвид, потому что почти все задания 14 в реальных вариантах ОГЭ — как раз арифметические: ряды кресел в амфитеатре, разгон поезда, охлаждение вещества.

Внутри «арифметики» задачи делятся на три сюжета, и от того, какой перед тобой, зависит выбор формулы:

• Найти один член ($a_n$) — «сколько мест в девятом ряду», «какая температура через 6 минут». Работает формула $n$-го члена.
• Найти сумму ($S_n$) — «сколько всего мест», «сколько метров прошёл поезд за 8 секунд». Работает формула суммы.
• Восстановить прогрессию по двум членам — дают, например, пятый и седьмой ряды, а спрашивают про последний. Сначала вычисляешь $d$ и $a_1$, потом уже отвечаешь.

Разберём каждый сюжет отдельно.

Формула n-го члена

Это твой инструмент №1: как только в условии просят «сколько в таком-то ряду» или «какое значение через столько-то шагов» — подставляй сюда.

Формула суммы

Проблема этой формулы: в ней нужен последний член $a_n$, а в «сюжетных» задачах его обычно не дают. Тогда сначала находишь $a_n$ по формуле $n$-го члена — или пользуешься удобной производной формой:

Восстановление прогрессии по двум членам

Самый «хитрый» подвид: дают два члена с разными номерами (например, $a_5$ и $a_7$), а спрашивают про какой-то третий. Ключ — разность между членами с номерами $k$ и $m$ равна $(m-k)$ разностям:

Найдя $d$, откатываешься к первому члену через $a_1 = a_k - (k-1)d$ — и дальше считаешь что просят.

Алгоритм решения

Типовые ловушки ОГЭ

Разбор примеров

Три задачи ниже — из нашего банка ОГЭ, по одной на каждый сюжет: найти член, восстановить по двум членам, найти сумму.

Пример 1. Место в девятом ряду

В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 24 места, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в девятом ряду амфитеатра?

Пример 2. Последний ряд по двум известным

В амфитеатре 23 ряда, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 27 мест, а в седьмом ряду 31 место. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Пример 3. Путь поезда за 8 секунд

Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,2 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,6 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 8 секунд движения?

Стратегия на экзамене

Отработка

Закрепи навык на живом банке задач:

• Подборка по под-теме: Арифметическая прогрессия
• Все задачи типа: Задание 14 — задачи на прогрессии