В задании 22 «параболы» — это самый частый из трёх сюжетов, и внутри него живут два довольно разных подвида. Их важно не путать, потому что вопрос в них ставят по-разному.
Первый подвид — парабола под модулем: тебе дают y=∣ax2+bx+c∣ и спрашивают, сколько общих точек график может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс (то есть с горизонталью y=c). Здесь ты двигаешь прямую снизу вверх и считаешь пересечения.
Второй подвид — дробь, которая сокращается до параболы: тебе дают громоздкую дробь вроде y=2−x(x2+1)(x−2), а после сокращения остаётся обычная парабола, но с одной выколотой точкой. Спрашивают про прямую y=kx — она проходит через начало координат и поворачивается. Здесь всё решает не картинка, а уравнение и его дискриминант.
Разберём оба. Балл дают за грамотный перебор случаев, а не за красоту чертежа.
Что нужно про параболу
Парабола под модулем
Ключ к подсчёту: уравнение ∣ax2+bx+c∣=c распадается на два квадратных — ax2+bx+c=c и ax2+bx+c=−c. Каждое даёт не больше двух корней, поэтому общих точек не больше четырёх. Ровно четыре получаются, когда горизонталь проходит между осью Ox и вершиной горба.
Дробь, сокращающаяся до параболы
Алгоритм
Примеры
Пример 1. Парабола под модулем
Постройте график функции
y=∣x2+2x−3∣.
Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?
Строим параболу без модуля
Нули: x2+2x−3=(x+3)(x−1)=0, то есть x1=−3, x2=1.
Вершина: x0=−22=−1, y0=(−1)2+2⋅(−1)−3=−4. Ветви вверх, значит на (−3;1) парабола ниже оси Ox.
Переходим к модулю
Часть ниже оси отражаем вверх. Появляется «горб» на [−3;1] с вершиной (−1;4) (ведь ∣−4∣=4) и нулями x=−3, x=1.
Считаем пересечения с прямой y=c
Число общих точек — число корней уравнения ∣x2+2x−3∣=c:
c<0 — точек нет;
c=0 — 2 точки (x=−3, x=1);
0<c<4 — 2 точки на внешних ветвях и 2 на «горбе», итого 4;
c=4 — 2 точки на ветвях и вершина горба, итого 3;
c>4 — 2 точки.
Больше четырёх быть не может: каждое из уравнений x2+2x−3=±c квадратное. Наибольшее число достигается, например, при c=2.
Ответ:4.
Пример 2. Дробь с выколотой точкой
Постройте график функции
y=2−x(x2+1)(x−2).
Определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.
Упрощаем формулу
Область определения: 2−x=0, то есть x=2. При x=2 дробь 2−xx−2=−1, поэтому
y=2−x(x2+1)(x−2)=−(x2+1)=−x2−1.
Это парабола y=−x2−1 ветвями вниз с вершиной (0;−1), из которой выколота точка x=2, то есть (2;−5).
Пересечение с прямой y=kx
Приравниваем: −x2−1=kx, то есть
x2+kx+1=0,x=2.
Дискриминант D=k2−4.
Разбираем случаи
D<0 (−2<k<2) — общих точек нет.
D=0 (k=±2) — один корень x=−2k: при k=2 это x=−1, при k=−2 это x=1. Оба не равны 2 — ровно одна общая точка. Подходит.
D>0 (∣k∣>2) — корней два; одна общая точка останется, только если один из них попал в выколотое x=2. Подставим x=2: 4+2k+1=0, откуда k=−2,5. По теореме Виета произведение корней равно 1, значит второй корень 21 — он допустим, остаётся ровно одна точка. Подходит.
При остальных k с ∣k∣>2 оба корня годятся — две точки.
Ответ:k=−2,5;k=−2;k=2.
Пример 3. Ещё одна дробь-парабола
Постройте график функции
y=−1−x(x2+0,25)(x+1).
Определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.
Упрощаем
Знаменатель −1−x=−(x+1), поэтому при x=−1
y=−(x+1)(x2+0,25)(x+1)=−(x2+0,25)=−x2−0,25.
Парабола ветвями вниз, вершина (0;−0,25), выколота точка x=−1, то есть (−1;−1,25).
D=0 (k=±1) — касание: при k=1 корень x=−0,5, при k=−1 корень x=0,5; оба существуют — по одной точке.
D>0 (∣k∣>1) — два корня; при k=1,25 один из них равен −1 (выколот), второй по Виета −10,25=−0,25 — остаётся одна точка. При остальных ∣k∣>1 обе точки реальны — их две.
Ответ:k=−1;k=1;k=1,25.
Отработка
Закрепи оба подвида на банке — там десятки вариантов с проверкой ответа: