В задании 11 гипербола — самый узнаваемый из трёх графиков. Прямую можно спутать с прямой, одну параболу — с другой, а гиперболу не спутаешь ни с чем: это две отдельные ветви, которые прижимаются к осям координат, но никогда их не касаются. Если на картинке ты видишь две такие «дуги» в противоположных углах — это график обратной пропорциональности y=xk, и дальше остаётся решить один-единственный вопрос: в каких четвертях лежат ветви.
Этот конспект — только про гиперболу: как узнать её среди других графиков, как по знаку k определить четверти и как различить две гиперболы между собой. Общий разбор задания 11 (прямые, параболы, формат ответа) — в конспекте типа; здесь идём глубже именно по этой подтеме.
Что такое гипербола
Почему график не касается осей? В формуле x стоит в знаменателе, поэтому:
при x=0 функция не определена (на ноль делить нельзя) — значит, график не пересекает ось Oy;
значение y=0 не достигается ни при каком x (дробь xk не бывает нулём) — значит, график не пересекает и ось Ox.
Отсюда и «прижимается, но не касается»: чем дальше от начала координат, тем ближе ветвь к оси.
Алгоритм
Типичные ловушки
Разбор задач
Пример 1. Смесь: гипербола, прямая, парабола
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А)
y=−x9
Б)
y=31x+1
В)
y=−2x2−10x−13
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А) y=−x9 — гипербола
Обратная пропорциональность, коэффициент k=−9<0. Значит, ветви во II и IV четвертях. Контрольная точка: при x=1 получаем y=−9 — точка (1;−9) в четвёртой четверти, всё сходится. Это график 3.
Б) y=31x+1 — прямая
Линейная функция, угловой коэффициент k=31>0 — прямая возрастает, притом полого. При x=0 получаем y=1: пересекает ось Oy в точке (0;1). Это график 2.
В) y=−2x2−10x−13 — парабола
Квадратичная функция, старший коэффициент −2<0 — ветви вниз. Это график 1 (единственная парабола). Для полноты найдём вершину по формуле из справочных материалов x0=−2ab:
Вершина (−2,5;−0,5) — слева от оси Oy, чуть ниже оси Ox. Подтверждает график 1.
Ответ: 321.
Пример 2. Гипербола в I и III четвертях
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А)
y=x1
Б)
y=x+1
В)
y=2x2+14x+24
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А) y=x1 — гипербола
Обратная пропорциональность, коэффициент k=1>0 — ветви в I и III четвертях. Контрольная точка: при x=1 получаем y=1, точка (1;1) в первой четверти. Это график 1.
Б) y=x+1 — прямая
Линейная функция, k=1>0 — возрастает. При x=0 имеем y=1, при x=−1 имеем y=0: прямая через (0;1) и (−1;0). Это график 3.
В) y=2x2+14x+24 — парабола
Старший коэффициент 2>0 — ветви вверх. Абсцисса вершины:
x0=−2ab=−2⋅214=−3,5.
Вершина смещена влево — это график 2.
Ответ: 132.
Что запомнить
Гипербола — две ветви у осей. Оси координат — асимптоты: график к ним прижимается, но не пересекает (при x=0 функция не определена).
Знак k задаёт четверти.k>0 — I и III; k<0 — II и IV. Проверяй точкой (1;k).
Две гиперболы различай по ∣k∣. Больше ∣k∣ — ветви дальше от начала координат.
Формулы гиперболы в справочных материалах нет — правило про четверти учи наизусть.
Ответ — три цифры в порядке А, Б, В, без пробелов.
