Комбинация многоугольников и окружностей

Ставим прямые углы через диаметр

Точки $P$ и $K$ лежат на окружности с диаметром $BH$. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой, поэтому

Узнаём прямоугольник

Рассмотрим четырёхугольник $BPHK$. У него три прямых угла:

Если у четырёхугольника три угла прямые, то и четвёртый прямой — значит, $BPHK$ прямоугольник.

Диагонали равны

Отрезки $BH$ и $PK$ — диагонали прямоугольника $BPHK$, а диагонали прямоугольника равны:

Ответ: $12$.

Боковые стороны перпендикулярны

Продолжим боковые стороны $AB$ и $CD$ до пересечения в точке $P$. В треугольнике $APD$ углы при вершинах $A$ и $D$ — это углы трапеции при основании $AD$, их сумма $90^\circ$, поэтому

то есть прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны.

Находим $PA$ и $PB$ через подобие

Так как $BC \parallel AD$, треугольники $PBC$ и $PAD$ подобны с коэффициентом $k = \dfrac{BC}{AD} = \dfrac{6}{18} = \dfrac13$. Значит $PB = \dfrac13 PA$ и

Расстояние от центра до прямой $CD$

Центр $O$ лежит на серединном перпендикуляре к хорде $AB$ — на прямой $\ell$ через середину $M$ отрезка $AB$, перпендикулярной $AB$. Прямая $CD$ тоже перпендикулярна $AB$, поэтому $\ell \parallel CD$, а расстояние между ними откладывается вдоль $AB$:

Условие касания

Окружность касается прямой $CD$, значит радиус равен расстоянию от центра до этой прямой:

Ответ: $R = 10$.

Расстояния от $C$ и $D$ до касательной

Так как $AB \perp BC$ и $AD \parallel BC$, то $AB \perp AD$. Значит, расстояние от $C$ до прямой $AB$ равно $BC = 9$, а от $D$ до прямой $AB$ равно $AD = 12$. Пусть $d = EH$ — искомое расстояние от $E$ до прямой $CD$.

Угол между касательной и хордой $EC$

Прямая $AB$ касается окружности в точке $E$, поэтому угол между касательной $AB$ и хордой $EC$ равен вписанному углу $\angle EDC$. Из прямоугольных треугольников $EBC$ и $EHD$:

Угол между касательной и хордой $ED$

Аналогично угол между касательной $AB$ и хордой $ED$ равен вписанному углу $\angle ECD$. Из треугольников $EAD$ и $EHC$:

Перемножаем и находим $d$

Расстояние от $E$ до $CD$ оказалось средним геометрическим расстояний от $C$ и $D$ до касательной и не зависит от высоты трапеции.

Ответ: $6\sqrt{3}$.