Задание 9: Задачи на квадратной решетке

Планиметрия на клетчатой бумаге и планы местности (Задание 9)

Девятое задание базового ЕГЭ проверяет умение работать с геометрическими фигурами на плоскости. Чаще всего это задачи с визуальной опорой: фигура нарисована на клетчатой решётке или дана карта местности. Но иногда встречаются и классические текстовые задачи на площади.

Ответ в этом задании всегда получается точным: целое число или конечная десятичная дробь.

Какие темы встречаются

В этом номере можно выделить три основных сюжета:

1. Фигуры на клетчатой бумаге (основная часть задач). Многоугольник с вершинами в узлах сетки размером $1 \times 1$. Встречаются: треугольник, трапеция, параллелограмм, ромб, произвольный четырёхугольник. Нужно найти площадь или длину какого-то элемента (диагональ, средняя линия, высота).
2. Оценка площади на плане местности. Дана схематичная карта (озеро, поле, участок) на сетке. Известен масштаб. Нужно прикинуть примерную площадь объекта.
3. Классическая планиметрия. Короткая текстовая задача на базовые формулы площадей без картинки (связь сторон и высот параллелограмма, площадь через диагонали и т.п.).

Ключевые формулы и методы

Для решения задач на клетчатой решётке можно использовать стандартные формулы геометрии, просто считая клетки. Но есть два универсальных приёма, которые спасают, когда фигура "кривая" и её высоту провести сложно: достраивание до прямоугольника и формула Пика.

Второй приём -- универсальный, работает для любого многоугольника с вершинами в узлах сетки.

Если попадается текстовая задача на связь сторон и высот параллелограмма или треугольника, нужно помнить следующий факт: площадь фигуры можно выразить по-разному, но сама площадь от этого не меняется.

Примеры решения

Расположим задачи от простой геометрии к оценке по карте.

Пример 1. Высоты параллелограмма

Условие: Стороны параллелограмма равны $15$ и $25$. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна $20$. Найди высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.

Пример 2. Площадь фигуры на клетке

Условие: На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён треугольник. Найди его площадь.

Пример 3. Оценка площади по плану местности

Условие: На рисунке изображён план местности. Шаг сетки плана соответствует расстоянию $100$ м на местности. Оцени, скольким квадратным метрам равна площадь озера Лебяжье, изображённого на плане. Ответ округли до целого десятка тысяч.

Частые ошибки

Что запомнить

• Для многоугольника с вершинами в узлах сетки работает формула Пика $S = В + \dfrac{Г}{2} - 1$.
• Метод прямоугольника (bounding-box минус углы) спасает в любой непонятной ситуации на клетчатой бумаге и даёт тот же ответ, что формула Пика.
• У параллелограмма произведение стороны на её высоту -- величина постоянная. Меньшая высота всегда падает на бОльшую сторону, а большая высота -- на меньшую.
• В задачах на карту считай целые клетки как $1$, а кусочки клеток примерно как $0{,}5$.
• Обязательно возводи масштаб в квадрат, когда ищешь площадь одной клетки.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. По формуле Пика площадь многоугольника с вершинами в узлах сетки равна:
   • $S = В + \dfrac{Г}{2} - 1$
   • $S = Г + \dfrac{В}{2} - 1$
   • $S = В + Г - 1$
   • $S = \dfrac{В + Г}{2}$
2. Треугольник вписан в прямоугольник $4 \times 3$ клетки, а три угловых прямоугольных треугольника имеют площади $1{,}5$, $2$ и $3$. Чему равна площадь треугольника?
   • $6{,}5$
   • $5{,}5$
   • $12$
   • $6$
3. Стороны параллелограмма равны $15$ и $25$, высота к меньшей стороне равна $20$. Чему равна высота к большей стороне?
   • $12$
   • $20$
   • $\dfrac{100}{3}$
   • $10$
4. Шаг сетки плана соответствует $100$ м. Озеро занимает примерно $7$ клеток. Какова его площадь?
   • $700$ м$^2$
   • $7000$ м$^2$
   • $70\,000$ м$^2$
   • $700\,000$ м$^2$

Проверить