Задачи на движение по прямой

Задачи на движение по прямой (Задание 20)

Задание 20 ЕГЭ-база - текстовая задача на движение, проценты, смеси или работу. В этом конспекте разбираем один из самых частых сюжетов номера: движение по прямой. Сюда относятся встречное движение, движение вдогонку, средняя скорость и задачи с несколькими участками пути.

Суть темы и основные формулы

Любая задача на движение опирается на три величины: пройденный путь ($S$), скорость ($v$) и время ($t$). Одна формула связывает их все.

Если в задаче двигаются одновременно два объекта, важна не каждая скорость по отдельности, а скорость их сближения или удаления.

Алгоритм решения

В задачах на движение (особенно когда путь состоит из нескольких участков или участников двое) надёжнее всего работает табличный метод.

Примеры разбора задач

Три классических сюжета базового ЕГЭ: средняя скорость, встречное движение с разворотом и движение вдогонку.

Сюжет 1: Средняя скорость

В задачах на среднюю скорость нужно найти средний темп движения на всём маршруте. Здесь кроется главная ловушка номера: среднюю скорость нельзя искать как среднее арифметическое скоростей на участках.

Пример 1

Условие: Автобус едет из одного города в другой тремя участками. Первые $80$ км по трассе - со скоростью $80$ км/ч, следующие $60$ км по просёлочной дороге - со скоростью $40$ км/ч, последние $90$ км - со скоростью $60$ км/ч. Найди среднюю скорость автобуса на всём пути. Ответ дай в км/ч.

Решение: Средняя скорость - это весь пройденный путь, делённый на всё затраченное время.

1. Общее расстояние:

$$S_{\text{общ}} = 80 + 60 + 90 = 230 \text{ км}$$

2. Время на каждом участке ($t = \dfrac{S}{v}$): $t_1 = \dfrac{80}{80} = 1$ ч $t_2 = \dfrac{60}{40} = 1{,}5$ ч $t_3 = \dfrac{90}{60} = 1{,}5$ ч

3. Общее время:

$$t_{\text{общ}} = 1 + 1{,}5 + 1{,}5 = 4 \text{ ч}$$

4. Средняя скорость:

$$v_{\text{ср}} = \dfrac{S_{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}} = \dfrac{230}{4} = 57{,}5 \text{ км/ч}$$

Ответ: $57{,}5$

Сюжет 2: Встреча с возвратом

Иногда один из участников доезжает до конечной точки, разворачивается и встречает второго уже на обратном пути. Здесь помогает аккуратная схема.

Пример 2

Условие: Из посёлка одновременно в сторону города, находящегося в $45$ км, выехали велосипедист со скоростью $15$ км/ч и автомобилист со скоростью $60$ км/ч. Доехав до города, автомобилист сразу с той же скоростью поехал обратно. На каком расстоянии от посёлка он встретит велосипедиста? Ответ дай в километрах.

Сюжет 3: Движение вдогонку

Здесь один участник уже в пути, а второй стартует позже и догоняет. Удобно заводить "ноль времени" в момент старта догоняющего и пользоваться таблицей.

Пример 3

Условие: С автовокзала в сторону загородного лагеря вышел рейсовый автобус со скоростью $60$ км/ч. Через $30$ минут следом за ним выехал легковой автомобиль со скоростью $90$ км/ч. На каком расстоянии от автовокзала автомобиль догонит автобус? Ответ дай в километрах.

Частые ошибки

Что запомнить

• Главная формула: $S = v \cdot t$.

• Встречное движение: скорости складываются.

• Движение вдогонку: скорости вычитаются (большая минус меньшая).

• Когда один доехал до финиша и развернулся, до момента встречи оба суммарно проходят удвоенный маршрут.

• Средняя скорость = весь путь / всё время. Не среднее арифметическое.

• Единицы должны совпадать: км/ч vs м/с, часы vs минуты.

Проверь себя

1. Два пешехода идут навстречу друг другу со скоростями $4$ км/ч и $5$ км/ч. С какой скоростью они сближаются?
   • $9$ км/ч
   • $1$ км/ч
   • $4{,}5$ км/ч
   • $20$ км/ч
2. Автомобиль догоняет автобус. Скорость автомобиля $90$ км/ч, автобуса $60$ км/ч. Скорость сближения равна:
   • $150$ км/ч
   • $30$ км/ч
   • $75$ км/ч
3. Велосипедист проехал $10$ км со скоростью $10$ км/ч и ещё $10$ км со скоростью $30$ км/ч. Его средняя скорость на всём пути:
   • $20$ км/ч
   • $15$ км/ч
   • $40$ км/ч
4. Поезд ехал $45$ минут. Сколько это в часах?
   • $0{,}75$ ч
   • $0{,}45$ ч
   • $\dfrac{45}{100}$ ч

Проверить