Поиск

Произвольный четырехугольник

Содержание

Произвольный четырёхугольник на клетчатой бумаге (Задание 9)

В задании 9 часто встречаются "неправильные" четырёхугольники -- у них нет параллельных сторон, нет прямых углов, стороны идут по клеткам вкривь и вкось. Такая фигура может изображать, например, земельный участок на плане или контур флага на клетчатом листе. Считать клетки поштучно долго и легко ошибиться. Поэтому в базе есть три универсальных приёма, которые работают всегда: метод достраивающего прямоугольника, формула Пика и формула через диагонали.

Суть темы

Произвольный четырёхугольник -- это фигура с четырьмя вершинами и четырьмя сторонами, у которой не обязательно есть параллельные стороны, равные стороны или прямые углы. Поэтому школьные формулы параллелограмма и трапеции тут напрямую не работают.

Когда четырёхугольник нарисован на клетчатой бумаге размером 1×11 \times 1, задача упрощается: все вершины попадают в узлы сетки, и можно воспользоваться тем, что вершины находятся в целых координатах. В этом случае работают два очень сильных приёма:

  1. Метод прямоугольника -- описать фигуру в "рамку" и отсечь лишние уголки.
  2. Формула Пика -- посчитать точки сетки внутри фигуры и на её границе.

Если же четырёхугольник задан без клеток, но известны диагонали и угол между ними, выручает формула через диагонали.

Основные формулы

Формула Пика на примере четырёхугольника
Четырёхугольник с диагоналями

Из школьной программы пригодятся ещё две формулы: площадь трапеции и правило двух высот параллелограмма. Произвольный четырёхугольник иногда оказывается трапецией или параллелограммом, если присмотреться.

Алгоритм решения

Примеры решения

Пример 1. Метод прямоугольника

Условие: На клетчатой бумаге с размером клетки 1×11 \times 1 изображён четырёхугольник. Вершины лежат в узлах сетки. Найди его площадь.

Произвольный четырёхугольник в рамке

Решение:

Фигура кривая, формулы параллелограмма или трапеции не применить напрямую. Будем отсекать лишнее.

  1. Площадь большого прямоугольника: Sпрям=5⋅4=20S_{\text{прям}} = 5 \cdot 4 = 20.

  2. В углах -- четыре прямоугольных треугольника. Их площади:

    • левый верхний: 2⋅22=2\dfrac{2 \cdot 2}{2} = 2,

    • правый верхний: 3⋅12=1,5\dfrac{3 \cdot 1}{2} = 1{,}5,

    • левый нижний: 1⋅22=1\dfrac{1 \cdot 2}{2} = 1,

    • правый нижний: 4⋅32=6\dfrac{4 \cdot 3}{2} = 6.

  3. Сумма "лишних" кусочков: 2+1,5+1+6=10,52 + 1{,}5 + 1 + 6 = 10{,}5.

  4. Площадь нашего четырёхугольника:

S=20−10,5=9,5S = 20 - 10{,}5 = 9{,}5

Ответ: 9,59{,}5

Теперь решим ту же задачу вторым способом -- по формуле Пика. Это полезный способ самопроверки.

Пример 2. Формула Пика

Условие: Тот же четырёхугольник, что и в Примере 1. Все вершины в узлах сетки. Узлов строго внутри фигуры 88, узлов на её границе (включая вершины) 55. Найди площадь.

Третий пример -- "полевой" сюжет без клеток, где спасает формула диагоналей.

Пример 3. Диагонали и угол между ними

Условие: На участке с формой выпуклого четырёхугольника провели две диагональные дорожки. Их длины равны 1010 м и 88 м, а угол между ними равен 30∘30^\circ. Найди площадь участка в квадратных метрах.

Участок-четырёхугольник с диагоналями

Частые ошибки

Что запомнить

  • На клетках у произвольного четырёхугольника два надёжных способа: метод прямоугольника (описать и отрезать уголки) и формула Пика S=В+Г2−1S = В + \dfrac{Г}{2} - 1.

  • Если известны диагонали и угол между ними -- работает S=12d1d2sin⁡αS = \dfrac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha для любого выпуклого четырёхугольника.

  • Для ромба и квадрата диагонали перпендикулярны, sin⁡90∘=1\sin 90^\circ = 1, и формула сводится к 12d1d2\dfrac{1}{2} d_1 d_2.

  • Если в ответе получилась конечная десятичная дробь (например, 9,59{,}5) -- это нормально, главное чтобы её можно было вписать в бланк.

Проверь себя
  1. Что обозначает ГГ в формуле Пика S=В+Г2−1S = В + \dfrac{Г}{2} - 1?
  2. Узлов внутри многоугольника В=6В = 6, на границе Г=8Г = 8. Чему равна площадь по формуле Пика?
  3. Диагонали выпуклого четырёхугольника равны 66 и 44, угол между ними 30∘30^\circ. Площадь равна:
  4. Когда площадь четырёхугольника можно считать как 12d1d2\dfrac{1}{2} d_1 d_2 без синуса?