Задание 10: Прикладная геометрия

Прикладная геометрия (Задание 10)

Задание 10 ЕГЭ-база проверяет, как ты применяешь школьную планиметрию в бытовых сюжетах: заборы и участки, плитка и краска, колёса обозрения и зонты, лестницы и тени от фонарей. Никаких доказательств и громоздких теорем - только аккуратное применение базовых формул.

Ответ - целое число или конечная десятичная дробь.

Какие темы встречаются

Геометрические фигуры в этом задании "спрятаны" в бытовых сюжетах. По банку заданий распределение такое:

• Разные задачи (около 69%): расчёт площади комнаты или стены, разница между планом и реальным замером, количество плитки или рулонов обоев, расход краски. Почти всё сводится к формулам площади и периметра прямоугольника.
• Окружность (около 20%): углы между спицами колеса, между секторами зонта, между кабинками колеса обозрения.
• Прямоугольник (около 7%): заборы, разделение участка на части, сравнение периметров.
• Треугольник (около 4%): подобие (человек, фонарь и тень) и теорема Пифагора (лестница у стены, расстояние по диагонали).

Общий алгоритм решения

Залог успеха в задании 10 - правильный рисунок.

Примеры решения

Разберём три типовых сюжета из разных подтем: окружность, площадь, подобие.

Пример 1. Зонт и сектора

Условие: Зонт в раскрытом виде имеет форму правильного многоугольника с $12$ вершинами (спицы зонта делят его на равные сектора). Найди угол (в градусах) между двумя соседними спицами.

Решение:

1. Полный оборот вокруг центра зонта равен $360^\circ$.
2. $12$ спиц делят окружность ровно на $12$ равных секторов.
3. Угол между двумя соседними спицами - угол одного сектора:

$$\alpha = \dfrac{360^\circ}{12} = 30^\circ$$

Ответ: $30$

Пример 2. Площадь и плитка

Условие: Пол в прямоугольной кухне имеет размеры $3{,}5$ м и $4$ м. Его нужно выложить квадратной плиткой со стороной $50$ см. Сколько плиток потребуется, если отходов нет?

Пример 3. Лестница у стены (теорема Пифагора)

Условие: К вертикальной стене дома приставлена лестница длиной $13$ м. Нижний конец лестницы находится на земле на расстоянии $5$ м от стены. На какой высоте (в метрах) от земли находится верхний конец лестницы?

Частые ошибки

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Колесо обозрения имеет $18$ кабинок, расположенных через равные промежутки. Какой угол (в градусах) между соседними кабинками?
   • $20$
   • $18$
   • $\dfrac{360}{17} \approx 21{,}2$
   • $36$
2. Пол размером $6$ м на $4$ м выкладывают квадратной плиткой со стороной $50$ см. Сколько плиток потребуется (отходов нет)?
   • $96$
   • $48$
   • $0{,}0096$
   • $24$
3. Лестница длиной $10$ м приставлена к стене, её нижний конец в $6$ м от стены. На какой высоте верхний конец лестницы?
   • $8$ м
   • $\sqrt{136}$ м
   • $4$ м
   • $16$ м
4. В задаче про фонарь и тень какое соотношение верно всегда?
   • Высота фонаря больше роста человека
   • Длина тени больше роста человека
   • Высота фонаря больше длины тени
   • Рост человека больше длины тени

Проверить