Формулы с тремя переменными

Вычисления по формулам (Задание 4)

Задание 4 проверяет умение работать с математическими, физическими и житейскими формулами. Тебе не нужно учить эти формулы наизусть - они всегда даны в условии. Главная задача - аккуратно подставить известные значения и найти неизвестное.

В формулах с тремя переменными часто встречаются объёмы ($V = abc$), площади ($S = ah$), физические законы (закон Кулона, плотность, давление), простые проценты по вкладу. Вычисления становятся чуть объёмнее, но суть остаётся прежней. Часто неизвестная величина стоит не слева от знака равенства, а "спрятана" внутри формулы (в знаменателе, под корнем или в скобках).

Ключевые правила алгебры

Чтобы успешно достать нужную переменную из формулы, используй базовые правила преобразования уравнений.

Алгоритм решения

Примеры решения

Разберём три задачи от простой прямой подстановки до уравнения с корнем, где неизвестную нужно "доставать" из формулы.

Пример 1. Объём коробки (прямая подстановка)

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = abc$, где $a$, $b$ и $c$ - длина, ширина и высота. Склад отгружает коробки размером $a = 0{,}4$ м, $b = 1{,}5$ м и $c = 2$ м. Найди объём одной коробки в кубических метрах.

Решение:

1. Неизвестная $V$ уже выражена. Подставляем числа в формулу:

$$V = 0{,}4 \cdot 1{,}5 \cdot 2$$

2. Перемножаем по шагам. Сначала удобно взять $1{,}5 \cdot 2 = 3$:

$$V = 0{,}4 \cdot 3 = 1{,}2$$

Ответ: $1{,}2$

Во втором примере неизвестная "спрятана" в произведении, и нужно выразить её через остальные.

Пример 2. Простые проценты по вкладу

Сумма процентов по вкладу за $t$ лет при простой ставке вычисляется по формуле $I = \dfrac{P \cdot r \cdot t}{100}$, где $P$ - начальная сумма вклада в рублях, $r$ - годовая ставка в процентах, $t$ - время в годах. Вкладчик получил $I = 6000$ рублей процентов за $t = 5$ лет при ставке $r = 12$. Найди начальную сумму вклада $P$.

Самые сложные задачи этого типа - те, где есть квадратные корни.

Пример 3. Диагональ коробки (избавление от корня)

Длина диагонали прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$, где $a$, $b$ и $c$ - длины его рёбер. Упаковщик знает длину коробки $a = 3$, высоту $c = 4$ и длину диагонали $d = 13$. Найди ширину $b$.

Частые ошибки

Что запомнить

• Сначала подставляй числа, а потом выражай неизвестное - так проще.
• Прежде чем решать уравнение, выполни все возможные арифметические действия: сложи числа, возведи в степень, сократи дроби.
• Чтобы убрать число из знаменателя, умножь на него всё уравнение.
• Чтобы избавиться от большого корня, нужно возвести в квадрат обе части уравнения (включая одиночное число с другой стороны от знака равно).

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. По формуле $V = abc$ найди $V$, если $a = 0{,}5$, $b = 2$, $c = 3$.
   • $3$
   • $5{,}5$
   • $30$
2. Из формулы $I = \dfrac{P \cdot r \cdot t}{100}$ известно $I = 3000$, $r = 10$, $t = 3$. Чему равно $P$?
   • $1000$
   • $10\,000$
   • $900$
3. Дано $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$, $a = 2$, $b = 3$, $c = 6$. Чему равно $d$?
   • $7$
   • $11$
   • $49$
4. Уравнение $100 = 36 + x^2$. Чему равен положительный $x$?
   • $8$
   • $\sqrt{136}$
   • $64$

Проверить