Показательные уравнения

Показательные уравнения (Задание 17)

Задание 17 базового ЕГЭ проверяет умение решать простейшие уравнения: показательные, логарифмические, квадратные или иррациональные. В этом конспекте разберём показательные уравнения - те, где неизвестная $x$ стоит в показателе степени.

Звучит страшно, но на самом деле их решение сводится к простому приёму: сделать так, чтобы слева и справа стояло одно и то же основание.

Суть темы

В выражении $a^x$ число $a$ называется основанием, а $x$ - показателем.

Главная цель любого показательного уравнения - привести левую и правую части к степени с одинаковым основанием. Как только основания совпали, их можно "убрать" и приравнять показатели.

Почему показатели можно приравнять? Потому что при $a > 0$, $a \neq 1$ функция $y = a^x$ каждое своё значение принимает ровно один раз: у уравнения $a^x = c$ один корень.

Чтобы уравнивать основания, нужно помнить базовые свойства степеней.

Алгоритм решения

Все показательные уравнения из базы решаются по одному сценарию.

Примеры решения

Пойдём от самых простых конструкций к тем, где нужно применить пару свойств подряд.

Пример 1. Простейшее уравнение

Найди корень уравнения $2^{x-3} = 16$.

Решение:

1. Слева основание $2$. Справа число $16$. Вспомним степени двойки: $2^1=2$, $2^2=4$, $2^3=8$, $2^4=16$.
2. Заменим $16$ на $2^4$:

$$2^{x-3} = 2^4$$

3. Основания одинаковые, приравниваем показатели:

$$x - 3 = 4$$

4. Решаем линейное уравнение:

$$x = 4 + 3 = 7$$

Проверка: $2^{7-3} = 2^4 = 16$. Верно.

Ответ: $7$

Пример 2. Дробь в основании

Найди корень уравнения $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x+4} = 27$.

Пример 3. Произведение степеней

Найди корень уравнения $2^{3x-1} \cdot 2^{5-2x} = 64$.

Частые ошибки

Что запомнить

• Главная цель - получить уравнение вида $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ с одинаковым основанием.

• Дробь $\dfrac{1}{a}$ сразу заменяй на $a^{-1}$ и переноси знак "минус" на весь показатель.

• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при возведении степени в степень - перемножаются.

• Единица представляется как $a^0$ для любого основания $a$.

• Всегда подставляй найденный $x$ в исходное уравнение - это займёт 10 секунд, но гарантирует балл.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Чему равен корень уравнения $2^{x-3} = 16$?
   • $7$
   • $1$
   • $4$
2. Как упростить произведение $2^{x} \cdot 2^{3}$?
   • $2^{x+3}$
   • $2^{3x}$
   • $4^{x+3}$
3. Как записать $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x+4}$ со степенью с основанием $3$?
   • $3^{-(x+4)}$
   • $3^{x+4}$
   • $3^{-x+4}$
4. При каких $a$ верно правило $a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x)$?
   • $a > 0$, $a \neq 1$
   • при любом $a$
   • только при $a > 1$

Проверить