Цилиндр

Цилиндр (Задание 13)

В задании 13 базового ЕГЭ по математике проверяется знание стереометрии - геометрии в пространстве. Часто в этом номере встречаются задачи на цилиндр: нужно найти его объём, площадь поверхности или сравнить два разных цилиндра.

Цилиндр - это объёмная фигура, которую легко представить в виде консервной банки, стакана, отрезка трубы или бочки. У него есть два одинаковых плоских основания (круги) и боковая поверхность, которая их соединяет.

Основные формулы

В базовом ЕГЭ рассматриваются только прямые круговые цилиндры. Все вычисления строятся вокруг двух главных параметров: радиуса основания ($R$) и высоты ($H$).

Так как в основании цилиндра лежит круг, полезно помнить его площадь: $S_{\text{круга}} = \pi R^2$.

Алгоритм решения задач на сравнение

Задачи, где даны два цилиндра и нужно узнать, во сколько раз площадь или объём одного больше другого, встречаются на экзамене чаще всего. Для них есть удобный метод.

Примеры решения задач

Разберём три типичные задачи: от простой подстановки в формулу до классической задачи на переливание жидкости из одного стакана в другой.

Пример 1. Объём консервной банки

Условие: Консервная банка имеет форму цилиндра с радиусом основания $5$ см и высотой $8$ см. Найди её объём в кубических сантиметрах, делённый на $\pi$.

Пример 2. Сравнение площадей боковой поверхности

Условие: Даны два цилиндра (две бочки разных размеров). Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно $6$ и $10$, а второго - $8$ и $5$. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого цилиндра больше площади боковой поверхности второго?

Пример 3. Переливание из стакана в стакан

Условие: В цилиндрическом стакане уровень воды достигает $18$ см. Воду перелили во второй цилиндрический стакан, радиус основания которого в $3$ раза больше радиуса первого. На какой высоте будет находиться уровень воды во втором стакане? Ответ дай в сантиметрах.

Частые ошибки

Что запомнить

• Радиус $R$ и высота $H$ - два ключа к любой задаче на цилиндр.

• Формула объёма содержит $R$ в квадрате: $V = \pi R^2 H$.

• Формула боковой поверхности без квадрата, но с двойкой: $S_{\text{бок}} = 2\pi R H$.

• Полная поверхность - боковая плюс два круглых основания: $S_{\text{полн}} = 2\pi R (R + H)$.

• При сравнении двух цилиндров не перемножай всё сразу, записывай дробь и сокращай $\pi$ и общие числа.

• При переливании жидкости её объём остаётся неизменным. Если сосуд становится в $3$ раза шире (по радиусу), уровень воды падает в $9$ раз (так как радиус в формуле объёма возводится в квадрат).

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Чему равен объём цилиндра с радиусом основания $R$ и высотой $H$?
   • $V = \pi R^2 H$
   • $V = 2\pi R H$
   • $V = \pi R H^2$
   • $V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 H$
2. Радиус основания цилиндра равен $3$, высота равна $4$. Чему равна площадь боковой поверхности, делённая на $\pi$?
   • $24$
   • $12$
   • $36$
   • $48$
3. Воду из цилиндрического стакана перелили в другой цилиндрический стакан, радиус которого в $2$ раза больше. Во сколько раз понизится уровень воды?
   • В $4$ раза
   • В $2$ раза
   • В $8$ раз
   • Уровень не изменится
4. В условии дан диаметр основания $D = 10$. Что нужно подставить в формулу $V = \pi R^2 H$ вместо $R$?
   • $5$
   • $10$
   • $20$
   • $100$

Проверить