Параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед (Задание 13)

Задание 13 ЕГЭ-база проверяет умение работать с объёмными фигурами. Одна из самых частых и понятных -- прямоугольный параллелепипед. В бытовом сюжете это комната, холодильник, аквариум, коробка или бассейн. В этом конспекте разберём всё, что нужно для уверенного решения: объём, площадь поверхности и диагональ.

Суть темы

Прямоугольный параллелепипед -- объёмная фигура, у которой шесть граней, и каждая из них прямоугольник. У него три главных измерения: длина, ширина и высота. Обычно их обозначают буквами $a$, $b$ и $c$ -- это рёбра, выходящие из одной вершины.

Основные формулы

В базе по этой теме спрашивают объём, площадь поверхности или диагональ. Все три формулы короткие.

Площадь поверхности -- сумма площадей всех шести граней. Представь, что красишь коробку со всех сторон: пол и потолок, передняя и задняя стенка, две боковые. У параллелепипеда грани попарно равны:

• пол и потолок: каждая $a \cdot b$;

• передняя и задняя: каждая $a \cdot c$;

• две боковые: каждая $b \cdot c$.

Диагональ параллелепипеда -- отрезок, который соединяет две противоположные вершины и проходит внутри фигуры. Это самая длинная «струна», которую можно натянуть в комнате из угла в угол.

Алгоритм решения

Примеры решения

Разберём три задачи: прямое вычисление объёма, поиск ребра через объём и диагональ.

Пример 1. Объём холодильника

Условие: Холодильник имеет форму прямоугольного параллелепипеда с измерениями $60$ см, $70$ см и $200$ см. Найди его объём в литрах. Напомним: $1$ литр $=1\,000$ см³.

Решение:

1. Объём в кубических сантиметрах:

$$V = 60 \cdot 70 \cdot 200$$

$$V = 4200 \cdot 200 = 840\,000 \text{ см}^3$$

2. Переводим в литры, делим на $1\,000$:

$$V = \dfrac{840\,000}{1\,000} = 840 \text{ л}$$

Ответ: $840$

В ЕГЭ часто дают «обратные» задачи: известен объём, нужно найти поверхность или ребро. Первый шаг -- найти недостающее ребро.

Пример 2. Аквариум: от объёма к покраске

Условие: Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием. Сторона основания $4$ дм, а объём аквариума равен $96$ дм³. Сколько квадратных дециметров стекла ушло на его стенки, дно и открытый верх, то есть какова площадь полной поверхности?

Пример 3. Диагональ комнаты

Условие: Комната имеет форму прямоугольного параллелепипеда с длиной $6$ м, шириной $2$ м и высотой $3$ м. Найди длину самой длинной прямой «струны», которую можно натянуть внутри комнаты из угла в угол.

Частые ошибки

Что запомнить

• Параллелепипед задаётся тремя измерениями: $a$, $b$, $c$.

• Объём (вместимость): $V = a \cdot b \cdot c$.

• Поверхность (покраска): $S = 2(ab + bc + ac)$.

• Диагональ (Пифагор в 3D): $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.

• Если даны два ребра из трёх, а просят поверхность или диагональ -- скорее всего, третье ребро спрятано в объёме. Решай в два шага.

• Ответ на ЕГЭ-база всегда аккуратный: целое число или простая десятичная дробь. Некрасивый результат -- повод перепроверить.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$, $c$?
   • $V = a \cdot b \cdot c$
   • $V = 2(ab + bc + ac)$
   • $V = a + b + c$
   • $V = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$
2. Рёбра параллелепипеда равны $2$, $3$ и $6$. Чему равна его диагональ?
   • $7$
   • $11$
   • $36$
   • $\sqrt{11}$
3. Площадь полной поверхности куба со стороной $3$ равна
   • $54$
   • $27$
   • $36$
   • $9$
4. Объём параллелепипеда равен $96$, стороны основания $4$ и $4$. Чему равна высота?
   • $6$
   • $24$
   • $12$
   • $8$

Проверить