Числовые промежутки

Числовые промежутки (Задание 18)

В задании 18 ЕГЭ-база часто просят выбрать из нескольких чисел то, которое принадлежит заданному промежутку. Типичная формулировка: "Какое из чисел $\sqrt{2}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{10}$, $\sqrt{17}$ принадлежит промежутку $[2;\, 3]$?" Чтобы уверенно отвечать на такие вопросы, нужно знать виды промежутков, понимать, что значит "принадлежит", и уметь прикинуть значение числа.

Виды промежутков

Промежуток - это множество всех действительных чисел, расположенных на числовой прямой между двумя концами. Важно только одно: какие концы входят в промежуток, а какие нет. Это показывают квадратные и круглые скобки.

Что значит "принадлежит"

Запись $x \in [a;\, b]$ читается как "$x$ принадлежит отрезку от $a$ до $b$". Это значит, что число $x$ одновременно удовлетворяет двум условиям: $x \geqslant a$ и $x \leqslant b$. Чтобы проверить принадлежность, достаточно сравнить число с обоими концами.

Алгоритм решения

Оценка некрасивых чисел

В задании 18 часто участвуют корни, дроби и отрицательные степени. Чтобы сравнить их с концами промежутка, зажми каждое число между двумя целыми.

Для $\sqrt{n}$, если $n$ - не точный квадрат, ищи два ближайших квадрата: $a^2 < n < b^2$, тогда $a < \sqrt{n} < b$. Например, $9 < 13 < 16$, значит $3 < \sqrt{13} < 4$.

Примеры решения

Пример 1. Принадлежность точки отрезку

Какое из чисел $\sqrt{2}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{10}$, $\sqrt{17}$ принадлежит промежутку $[2;\, 3]$?

Решение:

Отрезок $[2;\, 3]$ - обе скобки квадратные, значит число $x$ должно удовлетворять $2 \leqslant x \leqslant 3$. Что эквивалентно $4 \leqslant x^2 \leqslant 9$ (для положительных $x$). Тогда среди $\sqrt{2}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{10}$, $\sqrt{17}$ попадёт то, у которого подкоренное число лежит между $4$ и $9$.

• $\sqrt{2}$: $2 < 4$, значит $\sqrt{2} < 2$. Не подходит.
• $\sqrt{5}$: $4 \leqslant 5 \leqslant 9$. Подходит.
• $\sqrt{10}$: $10 > 9$, значит $\sqrt{10} > 3$. Не подходит.
• $\sqrt{17}$: $17 > 9$, значит $\sqrt{17} > 3$. Не подходит.

Ответ: $\sqrt{5}$

Пример 2. Разные типы чисел

Какое из чисел $\dfrac{7}{3}$, $\sqrt{3}$, $1{,}5$, $0{,}25^{-1}$ принадлежит промежутку $(2;\, 3)$?

Пример 3. Полуинтервал и объединение

Какое из чисел $-1$, $2$, $3{,}5$, $5$ принадлежит промежутку $[-2;\, 0) \cup [3;\, 5)$?

Частые ошибки

Что запомнить

• Квадратная скобка - конец входит в промежуток. Круглая - не входит.
• Возле $\pm\infty$ всегда круглая скобка.
• Чтобы проверить принадлежность, сравни число с обоими концами и посмотри на вид скобок.
• Для корней зажимай подкоренное число между ближайшими точными квадратами.
• Объединение $A \cup B$ - подходит число, попавшее хоть в один кусок.
• Три корня для экзамена: $\sqrt{2} \approx 1{,}4$, $\sqrt{3} \approx 1{,}7$, $\sqrt{5} \approx 2{,}2$.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Принадлежит ли число $3$ промежутку $[1;\, 3)$?
   • Да, потому что $1 \leqslant 3$ и $3 \leqslant 3$
   • Нет: правая скобка круглая, значит конец $3$ не входит
   • Да, конец всегда входит в промежуток
2. Какое из чисел принадлежит отрезку $[2;\, 3]$?
   • $\sqrt{2}$
   • $\sqrt{5}$
   • $\sqrt{10}$
   • $\sqrt{17}$
3. Какая скобка ставится возле $+\infty$?
   • Всегда круглая: бесконечность не число
   • Всегда квадратная: луч содержит все большие числа
   • Любая, это дело вкуса
4. Число $-1$ и промежуток $[-2;\, 0) \cup [3;\, 5)$ — что верно?
   • $-1$ принадлежит, так как $-2 \leqslant -1 < 0$
   • $-1$ не принадлежит, так как отрицательные числа не входят
   • $-1$ принадлежит второму куску $[3;\, 5)$

Проверить