Треугольники и их элементы

Суть темы

В задании 12 базового ЕГЭ по планиметрии часто встречаются задачи, где нужно опереться на элементы треугольника: его углы, стороны и специальные отрезки - биссектрису, медиану, высоту и среднюю линию. Эти задачи решаются не громоздкими вычислениями, а точным применением одного-двух школьных фактов: сумма углов равна $180^\circ$, в равнобедренном треугольнике высота к основанию совпадает с медианой, средняя линия равна половине основания.

Сюжеты типовые и "житейские": конёк крыши с равными стропилами, треугольный флажок со складкой по средней линии, угловая полка в комнате. Разбираем ровно тот набор приёмов, который покрывает эти задачи.

Основные формулы и ключевые факты

1. Углы треугольника

Внешний угол треугольника (угол, смежный с внутренним) равен сумме двух других внутренних углов, не смежных с ним. Это прямое следствие суммы $180^\circ$.

2. Биссектриса, медиана, высота

Три специальных отрезка, которые легко перепутать. У каждого своя роль.

В общем треугольнике эти три отрезка - разные. В равнобедренном и в равностороннем треугольнике они могут совпадать.

3. Равнобедренный треугольник

Поэтому, когда видишь в условии "равнобедренный" и нужна высота или медиана к основанию - проводи один отрезок и получи сразу два свойства: он делит основание пополам и перпендикулярен ему. Это превращает задачу в прямоугольный треугольник.

4. Средняя линия

5. Площадь треугольника

Для прямоугольного треугольника катеты играют роль стороны и высоты друг для друга, поэтому $S = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b$, где $a$ и $b$ - катеты.

Алгоритм решения

Примеры решения

Идём от короткой задачи на углы к более насыщенным сюжетам.

Пример 1. Углы треугольника и биссектриса

Условие: Угловая полка имеет форму треугольника $ABC$. Известно, что $\angle A = 70^\circ$, $\angle C = 50^\circ$. Из вершины $B$ проведена биссектриса $BL$. Найди угол $\angle ABL$ (в градусах).

Решение:

1. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

$$\angle B = 180^\circ - 70^\circ - 50^\circ = 60^\circ$$

2. Биссектриса делит угол $B$ пополам:

$$\angle ABL = \dfrac{60^\circ}{2} = 30^\circ$$

Ответ: $30$

Пример 2. Средняя линия

Условие: Треугольный флажок $ABC$ имеет основание $AC = 24$ см. По серединам боковых сторон $AB$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $N$, через них пришита декоративная лента $MN$. Найди длину ленты (в сантиметрах).

Пример 3. Высота в равнобедренном треугольнике

Условие: Крыша сарая имеет форму равнобедренного треугольника $ABC$ с равными стропилами $AB = BC = 17$ м и прогоном $AC = 16$ м. Найди высоту конька над прогоном (в метрах).

Частые ошибки

Что запомнить

• Сумма углов треугольника - $180^\circ$. Два угла даны - третий находится вычитанием.

• Равнобедренный треугольник - сразу проводи высоту к основанию. Она же медиана, она же биссектриса: делит основание пополам и даёт прямоугольный треугольник.

• Средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине. Две середины - значит, средняя линия.

• Тройки Пифагора. $3-4-5$, $5-12-13$, $8-15-17$, $7-24-25$ - встречаются в базе постоянно. Увидел два числа из тройки - третье известно без вычислений.

• Готовые формулы в условии (медианы, радиуса вписанной окружности) нужно просто подставить, а не выводить.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Чему равна сумма внутренних углов любого треугольника?
   • $180^\circ$
   • $90^\circ$
   • $360^\circ$
   • Зависит от вида треугольника
2. Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон. Чему она равна?
   • Половине третьей стороны
   • Третьей стороне
   • Половине периметра
   • Половине высоты
3. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, ...
   • совпадает с медианой и биссектрисой
   • совпадает только с биссектрисой
   • делит основание в отношении $1:2$
   • всегда равна половине основания
4. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны $13$, основание равно $10$. Чему равна высота, проведённая к основанию?
   • $12$
   • $\sqrt{69}$
   • $13$
   • $5$

Проверить