Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед (Задание 11)

Прямоугольный параллелепипед - это самая привычная нам геометрическая фигура в повседневной жизни. Коробка из-под обуви, комната, кирпич, аквариум или системный блок компьютера - всё это прямоугольные параллелепипеды.

В задании 11 ЕГЭ базового уровня чаще всего просят найти либо объём такой фигуры (сколько воды поместится внутри), либо площадь её поверхности (сколько краски или картона понадобится для её покрытия).

Основные формулы

У прямоугольного параллелепипеда $6$ граней, и все они являются прямоугольниками. Из каждой вершины выходят три ребра. Эти три измерения обычно называют длиной ($a$), шириной ($b$) и высотой ($c$).

Алгоритм решения

Задачи про параллелепипед решаются в 3-4 действия.

Примеры решения

Начнём с чистой подстановки в формулу, затем перейдём к площади поверхности и классической задаче "деталь в баке" -- она очень популярна на базовом экзамене.

Пример 1. Объём комнаты

Комната имеет форму прямоугольного параллелепипеда: длина $6$ м, ширина $4$ м, высота потолка $3$ м. Найди объём комнаты в кубических метрах.

Решение:

1. Все три измерения даны в метрах, переводить ничего не нужно.
2. Перемножим их:

$$V = 6 \cdot 4 \cdot 3 = 72 \text{ м}^3$$

3. Порядок умножения не важен. Удобно считать так: $6 \cdot 4 = 24$, затем $24 \cdot 3 = 72$.

Ответ: $72$

Пример 2. Площадь поверхности

Для изготовления подарочной коробки (с крышкой) в форме прямоугольного параллелепипеда с размерами $30$ см, $20$ см и $10$ см требуется плотный картон. Найди площадь поверхности этой коробки. Ответ дай в квадратных сантиметрах.

Пример 3. Погружение детали в жидкость

В прямоугольный аквариум, дно которого имеет размеры $60$ см и $30$ см, налита вода. В воду полностью погрузили декоративный камень, после чего уровень воды поднялся на $4$ см. Найди объём камня в кубических сантиметрах.

Частые ошибки

Что запомнить

• Объём (вместимость): $V = a \cdot b \cdot c$.

• Площадь поверхности (оболочка): $S = 2(ab + bc + ac)$. Считаем площади трёх разных прямоугольников, складываем и удваиваем.

• Если тело погружают в воду, то его объём равен: $V = (\text{площадь дна бака}) \cdot (\text{на сколько поднялась вода})$. Знать изначальный уровень воды для этого не нужно!

• Чтобы перевести кубические сантиметры в литры, нужно разделить число на $1\,000$.

Стратегия на экзамене (для задания 11)

Проверь себя

1. Чему равен объём куба с ребром $3$ см?
   • $27$ см³
   • $9$ см³
   • $54$ см³
   • $6$ см³
2. Найди площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с измерениями $1$, $2$ и $3$.
   • $6$
   • $22$
   • $11$
   • $12$
3. В аквариум с дном $50$ см на $20$ см погрузили камень, уровень воды поднялся на $3$ см. Каков объём камня?
   • $1\,000$ см³
   • $73$ см³
   • $3\,000$ см³
   • $300$ см³
4. Сколько литров в $5\,000$ см³?
   • $5$
   • $50$
   • $0{,}5$
   • $500$

Проверить